解幾試題的別樣風采

解析幾何歷來是高中數學的難點，也是高考考查的重點. 很多同學高考時，在解析幾何的部分鎩羽而歸，讓我們不得不思考怎樣才能挫敗解析幾何的銳氣，獲取勝利的果實. 為熟悉解析幾何的常見題型和出題規律，本刊試題研究組精選了7道解幾試題，以供同學們“厲兵秣馬”．

1． 過點P（1，1）的直線，將圓形區域｛（x，y）x2+y2≤4｝分成兩部分，要使這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為（ ）

A． x+y-2=0 B． y-1=0

C． x-y=0 D． x+3y-4=0

2． 點P在直線l：y=x－1上，若存在過P的直線交拋物線y=x2于A，B兩點，且PA=AB，則稱點P為“A點”，那么下列所述結論中正確的是（ ）

A． 直線l上的所有點都是“A點”

B． 直線l上僅有有限個點是“A點”

C． 直線l上的所有點都不是“A點”

D． 直線l上有無窮多個點（不是所有的點）是“A點”

3． 已知圓C：x2+y2=12，直線l：4x+3y=25．

（1）圓C的圓心到直線l的距離為________；

（2）圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為_______．

4． 如圖1，拋物線y=－x2+1與x軸的正半軸交于點A，將線段OA的n等分點從左至右依次記為P1，P2，…，Pn-1，過這些分點分別作x軸的垂線，與拋物線的交點依次為Q1，Q2，…，Q■，從而得到n-1個直角三角形△Q1OP1，△Q2P1P2，…，△Qn-1Pn-1Pn-2，當n→∞時，這些三角形的面積之和的極限為________．

5． 設直線系M：xcosθ+（y－2）sinθ=1（0≤θ≤2π），對于下列四個命題：

①M中所有直線均經過一個定點；

②存在定點P不在M中的任一條直線上；

③對于任意整數n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；

④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.

其中真命題的代號是_______（寫出所有真命題的代號）．

6． 如圖2，雙曲線■－■=1（a，b>0）的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F2． 若以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D，求：

（1）雙曲線的離心率e；

（2）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值■．

7． 已知一列橢圓Cn：x2+■=1，0

（1）試證：bn≤■（n≥1）；

（2）取bn＝■，并用Sn表示△PnFnGn的面積，試證：S1Sn+1（n≥3）．

1． 要使直線將圓形區域分成兩部分的面積之差最大，必須使過點P的圓的弦長達到最小，所以只需該直線與直線OP垂直即可． 易得所求直線的方程為y－1=－（x－1），即x+y－2=0． 故選A．

2． 設A（m，n），P（x，x－1），則可得B（2m－x，2n－x+1）． 因為A，B在y=x2上，所以n=m2，2n－x+1=（2m－x）2，消去n，整理得關于x的方程x2－（4m－1）x+2m2－1=0 ①．

因為Δ=（4m－1）2－4（2m2－1）=8m2－8m+5>0恒成立，所以方程①恒有實數解，應選A．