長沙長郡中學 湖南師大附中月考試卷調研

試卷報告

試卷嚴格按照新課標的范圍命題，注重數學的學科本質，堅持對基礎知識、基本技能和基本方法的考查，兼顧了數學思想方法、思維、應用和潛能多方面的考查，還注意了文、理科的差異．主要體現以下特點：①堅持“重點內容重點考查，非重點內容滲入考查”的思路，突出考查了數學中支撐學科知識體系的主干內容，體現了重點知識在試卷中的突出位置，如函數在本試卷中占了顯著的地位．②注重知識的交叉、滲透和綜合，注重檢測大家是否具備了有序的網絡化的知識體系．試卷中知識交匯的試題比比皆是，如理科第8、13、22題，文科第8、15、20題等．③關注數學知識的合理應用，比較重視對應用與創新能力的考查，如理科第5、15、16、20題，文科第14、16、20題．④規避命題的“模式化”，如理科第6、8、10、17題，文科第11、12、14、20題．⑤由一題把關變為多題把關，如文理科第16、21、22題都有一問需大家具有較好的數學基礎才可完成．

難度系數：★★★★

一、填空題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．

1． （理）設a是實數，且■+■是實數，則a等于（ ）

A． ■ B． 2 C． 1 D． －1

（文）設全集U=R，集合M=｛x－2≤x≤2｝，集合N為函數y=ln（x－1）的定義域，則M∩（CUN）等于（ ）

A． ｛x1

C．？搖？搖｛x－2≤x≤1｝ D． ｛xx≤2｝

2． （理）對于實數x，符號［x］表示不超過x的最大整數，例如：［π］=3，［－1.08］=－2． 如果定義函數f（x）=x－［x］，那么下列命題中正確的是（ ）

A． f（5）=1

B． 方程f（x）=■有且僅有一個解

C． 函數f（x）是減函數

D． 函數f（x）是周期函數

（文）命題p：∠A=■，命題q：sinA=■，則p是q的（ ）

A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件？搖？搖

C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件

3． （理）設a>0，b>0，則“a2+b2≤1”是“a+b≤ab+1”的（ ）

A． 充分不必要條件

B． 必要不充分條件

C． 充要條件

D． 既非充分又非必要條件

（文）同理科第2題.

4． （理）已知點M（x，y）滿足x≥1，x－y+1≥0，2x－y－2≤0.若ax+y的最小值為3，則a的值為（ ）

A． 1 B． 2

C． 3 D． 4

（文）閱讀程序框圖（圖1），若輸入的N=100，則輸出的結果為（ ）

5． （理）已知Ω=｛（x，y）x≤1且y≤1｝，X是曲線y=x3－x與x軸所圍成的封閉區域． 向區域Ω內隨機擲點，則點落在區域X內的概率為（ ）

（文）如圖2，三棱柱ABC－A1B1C1的側棱長和底面邊長均為4，且側棱AA1⊥底面ABC，其正視圖是邊長為4的正方形，則此三棱柱的側視圖的面積為（ ）

6． （理）設i，j分別表示平面直角坐標系x，y軸上的單位向量，且a－i+a－2j=■，則a+2i的取值范圍是（ ）

（文）同理科第4題.

7． （理）已知關于x的不等式■x2+bx+c<0（ab>1）的解集為空集，則T=■+■的最小值為（ ）

（文）已知F1，F2分別是雙曲線C：■－■=1（a>0，b>0）的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線C在第二象限的交點為P，若雙曲線的離心率為5，則cos∠PF2F1等于（ ）

8． （理）如圖3，以AB為直徑的圓有一內接梯形ABCD，且AB∥CD，如果雙曲線以A，B為焦點，且過C，D兩點，那么當梯形ABCD的周長最大時，雙曲線的離心率為（ ）

（文）將y=lnx的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉角θ后第一次與y軸相切，則角θ滿足的條件是（ ）

A． esinθ=cosθ B． sinθ=ecosθ

C． esinθ=1 D． ecosθ=1

二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分．

（一）選做題（請理科考生在9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分；請文科考生在9、10兩題中任選一題作答，如果全做，則按第9題記分）

9． （理）（幾何證明選講選做題）如圖4，AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上的一點．過P作⊙O的切線，切點為C，PC=2■，若∠CAP=30°，則⊙O的直徑AB=______．

（文）（坐標系與參數方程選講）在極坐標系中，圓ρ=2cosθ的圓心C到直線ρcosθ=4的距離是______．

10． （理）（坐標系與參數方程選講）直線x=2+4t，y=－1－2t（t為參數），圓C：ρ=2■cosθ+■（極軸與x軸的非負半軸重合，且單位長度相同），則圓心C到直線l的距離為______．

（文）（優選法選講）配制某種注射用藥劑，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之間，用黃金分割法尋找最佳加入量時，若第1試點x1是差點，第2試點x2是好點，且x1>x2，則第3次試驗時葡萄糖的加入量是______mL．

11． （理）（不等式選講）設實數x，y，z滿足x+2y－3z=7，則x2+y2+z2的最小值為______．

（二）必做題（理科12～16題；文科11～16題）

11． （文）從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數據繪制成頻率分布直方圖（如圖5），若要從身高在［120，130），［130，140），［140，150］三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在［140，150］內的學生中選取的人數應為______．

12． （理）給出如圖6所示的程序框圖，那么輸出的數是________．

（文）已知復數z的實部為－1，虛部為2，則■等于_______．

13． （理）正三棱錐P－ABC的側棱長為1，底面邊長為■，它的四個頂點在同一個球O的球面上，則球O的體積為_______．

（文）若命題“？堝x∈R，2x2－3ax+9<0”為假命題，則實數a的取值范圍是_______．

14． （理）已知方程32x－3x+1=p有兩個相異的正實數解，則實數p的取值范圍是_______．

（文）如圖7所示的數陣中，第20行第2個數字是_____

_______．

15． 方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈｛－3，－2，0，1，2，3｝，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有_______條．

16． （理）給定集合A=｛a1，a2，…，an｝（n∈N，n≥3），定義ai+aj（1≤i

（1）若A=｛2，4，6，8｝，則L（A）=？搖________；

（2）若數列｛an｝是等差數列，設集合A=｛a1，a2，…，am｝（其中m∈N？鄢，m為常數），則L（A）關于m的表達式為________．

（文）已知數列｛an｝的通項為an=2n－1，現將其中所有的完全平方數（即正整數的平方）抽出按從小到大的順序排列成一個新的數列．

（1）若bk=am，則正整數m關于正整數k的函數表達式為m=________；

（2）記Sn是數列｛an｝的前n項和，則■能取到的最大值等于________．

三、解答題：本大題共6小題，共75分．

17． （本小題滿分12分）（理）某班同學利用國慶節進行社會實踐，對［25，55］歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖（圖8）：

（1）補全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；

（2）從［40，50）歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取18人參加戶外低碳體驗活動，其中選取3人作為領隊，記選取的3名領隊中年齡在［40，45）歲的人數為X，求X的分布列和期望EX．

（文）在△ABC中，A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知向量m=（1，2sinA），n=（sinA，1+cosA）． 滿足m∥n，b+c=■a．

（1）求A的大小；

（2）求sinB+■的值．

18． （本小題滿分12分）（理）已知曲線C：xy=1，過C上一點An（xn，yn），作斜率為kn=－■的直線交曲線C于另一點An+1（xn+1，yn+1），點An（n=1，2，3，…）的橫坐標構成數列｛xn｝，其中x1=■．

（1）求xn與xn+1的關系式（用xn表示xn+1）；

（2）求證：數列■+■是等比數列．

（文）學校推薦學生參加某著名高校的自主招生考試，初步確定文科生中有資格的學生40人，其中男生10名，女生30名，決定按照分層抽樣的方法選出一個4人小組進行培訓．

（1）求40人中某同學被選到培訓小組的概率，并求出培訓小組中男、女同學的人數；

（2）經過一個月的培訓，小組決定選出兩名同學進行模擬面試，方法是先從小組里選出一名同學面試，該同學面試后，再從小組里剩下的同學中選一名同學面試，求選出的同學中恰有一名男同學的概率；

（3）面試時，每個同學回答難度相當的5個問題并評分，第一個同學得到的面試分數分別為：68，70，71， 72，74，第二個同學得到的面試分數分別為69，70， 70，72，74，請問哪位同學的成績更穩定？并說明理由．

19． （本小題滿分12分）（理）如圖9，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中點．

（1）證明：PA∥平面BDE；

（2）求二面角B－DE－C的平面角的余弦值；

（3）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結論．

（文）如圖10，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H分別是棱BB1，CC1，DD1的中點．

（1）求證：BH∥平面A1EFD1；

（2）求直線AF與平面A1EFD1所成的角的正弦值．

20． （本小題滿分13分）（理）如圖11，某市準備在道路EF的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC，該曲線段是函數y=Asinωx+■π（A>0，ω>0），x∈［－4，0］的圖象，且圖象的最高點為B（－1，2）． 賽道的中間部分為長■千米的直線跑道CD，且CD∥EF，賽道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧DE．

（1）求ω的值和∠DOE的大小；

（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧DE上，且∠POE=θ，求當“矩形草坪”的面積取最大值時θ的值．

（文）甲、乙兩個鋼鐵廠2010年的年產量均為100萬噸，兩廠通過革新煉鋼技術，改善生產條件等措施，預計從2011年起，在今后10年內，甲廠的年產量每年都比上一年增加10萬噸，以2010年為第一年，乙廠第n（n∈N？鄢，n≥2）年的年產量每年都比上一年增加2n－1萬噸．

（1）“十二五”期間（即2011年初至2015年底），甲、乙兩個鋼鐵廠的累計鋼產量共多少萬噸？

（2）若某鋼廠的年產量首次超過另一鋼廠年產量的2倍，則該鋼廠于當年底將另一鋼廠兼并，問：在今后10年內，甲廠能否被乙廠兼并？若能，請推算出在哪一年底被兼并；若不能，請說明理由．

21． （本小題滿分13分）（理）如圖12，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸，離心率為■，它的一個焦點恰好與拋物線y2=4x的焦點重合．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓的上頂點為A，過A作橢圓C的兩條動弦AB，AC，若直線AB，AC的斜率之積為■，直線BC是否經過一定點？若經過，求出該定點坐標；若不經過，請說明理由．

（文）已知點A（1，■）是離心率為■的橢圓C：■+■ =1（a>b>0）上的一點．斜率為■的直線BD交橢圓C于B，D兩點，且A，B，D三點不重合．

（1）求橢圓C的方程；

（2）△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

（3）求證：直線AB，AD的斜率之和為定值．

22． （本小題滿分13分）（理）已知函數f（x）=■（x>0）．

（1）設g（x）=x2f ′（x），若g（x）在（m，m+1）內存在唯一的零點，求正整數m的值；

（2）若f（x）>n恒成立，求正整數n的最大值；

（3）求證：（1+1×2）·（1+2×3）·…·［1+n（n+1）］>e2n－3．

（文）定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M，都有f（x）≥M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的下界．已知函數f（x）=（x2－3x+3）·ex，其定義域為［－2，t］（t>－2），設f（－2）=m，f（t）=n.

（1）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在［－2，t］上為單調遞增函數；

（2）試判斷m，n的大小，并說明理由；并判斷函數f（x）在定義域上是否為有界函數，請說明理由；

（3）求證：對于任意的t>－2，總存在x0∈（－2，t）滿足■=■（t－1）2，并確定這樣的x0的個數．