自我檢測之圓錐曲線

橢圓及其性質

1． （2012上海文16）對于常數m，n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的（ ）

A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件

C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件

2． （2012全國大綱卷理3、文5）橢圓的中心在原點，焦距為4，一條準線為x=－4，則該橢圓的方程為（ ）

3． （2012全國新課標卷理4、文4）設F1，F2是橢圓E：■+■=1（a>b>0）的左、右焦點，P為直線x=■上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（ ）

4． （2012四川文15）橢圓■+■=1（a為定值，且a>■）的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A，B，△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是______．

5． （2012江西理13）橢圓■+■=1（a>b>0）的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F2． 若AF1，F1F2，F1B成等比數列，則此橢圓的離心率為___________．

雙曲線及其性質

6． （2102福建文5）已知雙曲線■－■=1的右焦點為（3，0），則該雙曲線的離心率等于（ ）

7． （2012湖南理5）已知雙曲線C：■-■=1（a，b>0）的焦距為10，點P（2，1）在C的漸近線上，則C的方程為（ ）

8． （2012全國新課標理8、文10）等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交于A，B兩點，AB=4■，則C的實軸長為（ ）

9． （2012全國大綱卷理8、文10）已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2=2的左、右焦點，點P在C上，PF1=2PF2，則cos∠F1PF2等于（ ）

10． （2012江蘇8）在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線■－■=1的離心率為■，則m的值為______．

11． （2012遼寧文15）已知雙曲線x2－y2=1，點F1，F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則∣PF1∣+∣PF2∣的值為__________．

12． （2012天津文11）已知雙曲線C1：■-■=1（a>0，b>0）與雙曲線C2：■－■=1有相同的漸近線，且C1的右焦點為F（■，0），則a=________，b=________．

拋物線及其性質

13． （2012四川理8、文9）已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經過點M（2，y■）． 若點M到該拋物線焦點的距離為3，則OM等于（ ）

14． （2012安徽理9）過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是原點，若AF=3，則△AOB的面積為（ ）

15． （2012重慶理14）過拋物線y2=2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若AB=■，AF

曲線與方程

16． （2012山東文11）已知雙曲線C1：■-■=1（a>0，b>0）的離心率為2． 若拋物線C2：x2=2py（p>0）的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為（ ）

17． （2012山東理10）已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率為■． 雙曲線x2－y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為（ ）

圓錐曲線的綜合問題

18． （2012福建理8）已知雙曲線■－■=1的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（ ）

D． 5

19． （2012安徽文20）如圖1，F1，F2分別是橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2=60°．

（1）求橢圓C的離心率；

（2）已知△AF1B的面積為40■，求a，b的值．

20． （2012廣東文20）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：■+■=1（a>b>0）的左焦點為F1（－1，0），且點P（0，1）在C1上．

（1）求橢圓C1的方程；

（2）設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程．

21． （2012全國新課標卷理20）設拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F，準線為l，A∈C，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點.

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為4■，求p的值及圓F的方程；

（2）若A，B，F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值．

22． （2012湖南理21）在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在圓C2：（x-5）2＋y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=－2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值．

（1）求曲線C1的方程；

（2）設P（x0，y0）（y0≠±3）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D． 證明：當P在直線x=－4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值．

23． （2012山東文21）如圖2，橢圓M：■+■=1（a>b>0）的離心率為■，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．

（1）求橢圓M的標準方程；

（2）設直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T，求■的最大值及取得最大值時m的值．

24． （2012江西文20）已知三點O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足■+■=■·（■+■）+2．

（1）求曲線C的方程；

（2）點Q（x■，y■）（-2

25． （2012江蘇19）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，橢圓■+■=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（－c，0），F2（c，0）． 已知（1，e）和e，■都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P．

①若AF1－BF2=■，求直線AF1的斜率；

②求證：PF1+PF2是定值．

26． （2012湖北理21）設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足DM=mDA（m>0且m≠1）．當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標；

（2）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H． 是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．