解析幾何學(xué)習(xí)的三個(gè)境界

“沒有規(guī)矩，無以成方圓”，做人如此，學(xué)習(xí)亦然. 這里所說的守規(guī)矩，指的是對(duì)概念、定義、公式、思想、方法等理解深刻、準(zhǔn)確，應(yīng)用熟練，遵循“本本分分，踏踏實(shí)實(shí)”的原則，去除浮躁、畏繁心理.

（2009浙江）已知橢圓C1：■+■=1（a>b>0）的右頂點(diǎn)為A（1，0），過C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.

（1）求橢圓C1的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M，N，當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值.

以第（2）小題為例，從當(dāng)年高考情況來看，得分非常低，很多學(xué)生都反映不知從何下手，其實(shí)在大部分解析幾何問題的求解過程中，只要嚴(yán)格按照問題的邏輯結(jié)構(gòu)，循序漸進(jìn)，嚴(yán)守?cái)?shù)學(xué)思維的一般規(guī)矩（此即本文所說的守規(guī)矩），即可求解，并非想象中的那么困難. 為更好地說明問題，下面將分步說明.

解析 （1）■+x2=1.

（2）如圖1，A（1，0），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（t，t2+h），構(gòu)造直線MN的方程；求MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)x3及線段PA中點(diǎn)的橫坐標(biāo)x4.

拋物線C2在點(diǎn)P處的切線斜率為k■=y′∣x=t=2t，MN：y=2tx－t2+h.

至于交點(diǎn)問題，無非是韋達(dá)定理的應(yīng)用. 所以代入■+x2=1？圯（4+4t2）x2+4t（－t2+h）x+（ｔ2－ｈ）2－4=0，Δ1>0，x3=■=■；x4=■. x3=x4？圯■=■.

形式整理好：t2+（1+h）t+1=0，從方程中產(chǎn)生不等式Δ2=（1+h）2－4≥0，得h≥1或h≤－3.？搖當(dāng)h≤－3時(shí)，Δ1>0不成立，所以h≥1.

反思 從解法可以看出，只要順應(yīng)思維規(guī)律，按部就班，即使沒有什么花哨的東西，只要守住數(shù)形結(jié)合，守住基本方法（待定系數(shù)法），就能成功解決問題. 這就是守規(guī)矩，并無特別之處.

當(dāng)然，要獲得更完美的結(jié)果和學(xué)習(xí)效益，單純地守規(guī)矩是不夠的. 解析幾何的路能否走得更遠(yuǎn)，能否看透問題本質(zhì)，還需要其他東西來加以輔助.

通過反思、歸納等形成自己的獨(dú)到理解和掌控知識(shí)的能力與心得. 解析幾何從題目的特征上歸納起來就是“求”（方程、離心率、坐標(biāo)、存在、證明等），x3+nSGMRqi2mvQ3X7PrXhIwefrOTVJCNB+KtKhEecMw=主要是求數(shù)和式（多數(shù)情況下的求解過程得不出具體的數(shù)）. 處理此類問題的通法是在數(shù)形思想和函數(shù)方程思想指導(dǎo)下的“待定系數(shù)法”. 以“待定系數(shù)法”為指導(dǎo)思想去思考與切入，明確求什么，求幾個(gè)量. 例1中的解法和對(duì)方程的知、造、用就充分地體現(xiàn)出了這個(gè)本質(zhì). 那么，對(duì)于求取值范圍（最值）的題目該如何做？是否也能形成自己的穩(wěn)定的解題思想呢？

■ （2010浙江）已知m>1，直線l：x－my－■=0，橢圓C：■+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).

（1）當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程；

（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H. 若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

反思 從以上的解法可歸納出不論題目怎么變化，取值范圍（最值）等問題再怪也是函數(shù)問題，解決方法是利用代換、恒等變形等手段將多元問題整合成一元問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來處理.

在守規(guī)矩的前提下，我們還必須有自己的思想，這樣才能有所進(jìn)步. 樂于思，做事常思考，久而久之我們便有了良好的科學(xué)態(tài)度和理性精神.

在掌握了基本知識(shí)和方法的同時(shí)，我們應(yīng)不滿足現(xiàn)狀，勇于打破常規(guī)，另辟蹊徑.

突破一 緊緊抓住題目中的中點(diǎn)及斜率，能否逆向思維進(jìn)行突破？嘗試點(diǎn)差法.

反思 突破產(chǎn)生的根源是聯(lián)想、類比、想象，核心是緊扣數(shù)形結(jié)合思想，充分發(fā)揮圖形的幾何特征，最大限度地發(fā)揮坐標(biāo)、方程、向量等優(yōu)勢(shì)，能簡(jiǎn)捷有效地提高學(xué)習(xí)效益. 明確本質(zhì)，敢于突破，突破的不僅是解題方法，也有難得的個(gè)性.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題與學(xué)做人相輔相成，盡管是一些小的方面的改變，如守規(guī)矩、有思想、敢突破，但同學(xué)們能就此獲得很多益處. 就本文而言，同學(xué)們?cè)趯?shí)實(shí)在在地掌握了解析幾何知識(shí)的同時(shí)，也為今后在數(shù)學(xué)或其他方面的大突破和深鉆研打下了良好的基礎(chǔ).