雙管齊下，搞定圓錐曲線最值問題

最值問題是高中數學中永恒的話題，圓錐曲線中的最值問題一直是高考和競賽中的熱點問題之一. 由于解決這個問題對考生的能力要求較高，許多同學對這個問題感到比較棘手. 本文以一道高考題為例，說明解決這類問題的常用對策，供大家參考.

題目 （由2008年全國高考題改編）過原點且斜率為正值的直線交橢圓■+y2=1于E，F兩點，設A（2，0），B（0，1）． 求四邊形AEBF的面積S的最大值．

函數思想是解決最值問題最強有力的武器，也是解決解析幾何最值問題最常用的方法，我們通常可用建立目標函數的方法解有關解析幾何的最值問題，其解題程序可總結為：變量→函數→最值． 即，第一步：選擇適當的量為變量，并求出變量的取值范圍（目標函數的定義域）． 第二步：把所需求最值的量用上述變量表示出來（求出目標函數的解析式）． 第三步：求出上述目標函數的最值即可得所需結論．

解法一 以直線的斜率為目標函數的變量

分析 當直線EF的斜率確定時，直線EF也確定了，四邊形AEBF也確定，即其面積顯然隨直線EF的斜率變化而變化，且題設中也有所暗示，故選取以直線EF的斜率為目標函數的變量是很自然的選擇.

解答 直線AB的方程為x+2y=2，設直線EF的斜率為k，則直線EF的方程為y=kx（k>0）．

如圖1，設E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1

評注 這種解法思路自然，在應試中也是一種不錯的選擇；縱觀上述解題過程，在操作時對運算的要求較高，在平淡中見真功夫.

解法二 以直線的傾斜角為目標函數的變量

分析 同解法一，易見四邊形AEBF的面積隨直線EF的傾斜角α變化而變化，因此也可選擇直線EF的傾斜角α為目標函數的變量.

評注 由于線段EF的長不難用其傾斜角表示，而A，B為定點，要求四邊形的面積，只需求出兩條對角線夾角的正弦值即可. 其不足之處是這種解法在求目標函數的解析式時運算量顯得比較大.

解法三 以點的坐標為目標函數的變量

分析 由于點E和F關于原點對稱，而A，B為定點，故四邊形AEBF的面積S隨點F的坐標變化而變化，因此也可選擇以點F的坐標為目標函數的變量. 注意到得到的目標函數最好是一元函數，故可借用橢圓的參數方程表示點的坐標.

評注 本解法在求四邊形面積時沿用了解法一的思路，由于點E，F的坐標與四邊形的面積關系顯得更加直接，故其運算也顯得簡單. 事實上，這種解法還可以進一步簡化，在求四邊形AEBF的面積時，也可把它分解為△EFA和△EFB的面積分別計算，且在計算中注意利用OA，OB的長為定值這個條件，則可使其解法更加簡捷，詳見如下：

不妨設點F在第一象限，由于F是橢圓■+y2=1上的點，所以可設F（2cosθ，sinθ）（0<θ<90°）. 由于BO=1，AO=2．所以S△BEF=■·OBxE-xF=■·2xF=xF=2cosθ，同理S△AEF=2yF=2sinθ. 所以S=2（sinθ+cosθ）=2■sin（θ+45°）≤2■，所以S的最大值為2■．

該簡化后的解法之所以比前面的解法要漂亮許多，主要表現在以下兩個方面，其一是目標函數的變量選擇是合理的；其二是操作過程中對面積公式的選擇也比較合理.

解法四 化歸為求二元函數的最值

分析 對于求一元函數的最值，我們比較容易駕馭，所以前面的解法所建立的目標函數均是一元函數，其實有時化為多元函數的最值問題求解，可使運算過程簡化到極致.

評注 把二元函數化歸為一元函數有時要通過比較繁瑣的過程，本解法與前幾種解法相比較，其不同之處是直接用柯西不等式求二元函數的最值，從而使解答過程更加簡捷.

由于平面解析幾何本身是數形結合的產物，借助圖形的幾何性質，也是破解圓錐曲線問題的重要對策，往往能收到事半功倍的效果．

解法五 利用幾何意義法求解

分析 由圖形的對稱性可知，當且僅當橢圓弧AB上的點F到直線AB的距離最大時，四邊形AEBF的面積取最大值，不難發現此時的點F恰是橢圓平行于AB的切線與橢圓的公共點.

解答 設直線l1，l2是與直線AB平行的橢圓的兩條切線，則當E，F分別與兩切點重合時，四邊形AEBF的面積S取最大值. 設切線的方程為x+2y=t，代入橢圓方程可得2x2－2tx+t2－4=0，令Δ=4t2－8（t2-4）=0，得t=±2■，即兩切線的方程為x+2y±2■=0，它們的距離為d=■，而AB=■，所以Smax=■■·■=2■.

雖然圓錐曲線中最值問題的題型可以千變萬化，但以上兩大對策方法仍然是其常用的解題對策；在化歸為目標函數的最值時，要特別注意目標函數的自變量的選擇，并關注目標函數的定義域. 在求目標函數的解析式時，注意選擇合理的運算方法，縮短解題的長度. 若能運用其幾何意義求其最值，則其運算過程往往比較簡結，而且一般出現錯誤的概率也相對較小，因此在解決這類問題時也要重視數形結合思想的應用.