圓錐曲線綜合問(wèn)題

重點(diǎn)：縱觀近年來(lái)高考中圓錐曲線的解答題，基本仍呈現(xiàn)幾何分析與代數(shù)解析并重的局面，但對(duì)代數(shù)解析和代數(shù)綜合（如綜合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量、不等式等知識(shí)）方面考查的意識(shí)似有漸趨“濃厚”的傾向，更加注重解析幾何中通性通法（如“坐標(biāo)法”、曲線與方程思想）的考查. 這類題型主要涵蓋：動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，定點(diǎn)、定值的證明問(wèn)題，最值和相關(guān)量的取值范圍問(wèn)題，向量綜合問(wèn)題，探索性問(wèn)題等幾個(gè)方面，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)以此為重點(diǎn).

難點(diǎn)：如何將幾何問(wèn)題有效地代數(shù)化；含多變量的式子中如何把握變形方向，簡(jiǎn)化運(yùn)算進(jìn)程；如何綜合運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量、不等式等知識(shí)，并確保運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

1. 基本思路

基本解題思路通常為：①根據(jù)題意設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程；②分析題目中的幾何關(guān)系，提取其“本質(zhì)特征”（等式或不等式）；③將該本質(zhì)特征“坐標(biāo)化”（即用前面所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示）；④聯(lián)立方程組并消元成一元二次方程，考慮判別式，由韋達(dá)定理求出兩根的和與積；⑤利用橫、縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系對(duì)“坐標(biāo)化”后的式子進(jìn)行消元，整理成只含橫坐標(biāo)或只含縱坐標(biāo)的兩根之和與兩根之積的形式；⑥用判別式、韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換（即“設(shè)而不求”，有時(shí)也可用求根公式，“既設(shè)又求”）.

以上為解析幾何的通性常法，以此為基礎(chǔ)才能解決圓錐曲線的綜合問(wèn)題.

2. 基本策略

因這類問(wèn)題大多為直線與圓錐曲線的綜合題，因此具體解題時(shí)，大致可按“聯(lián)立→消元→判別式→韋達(dá)定理→弦長(zhǎng)公式→中點(diǎn)坐標(biāo)公式”的流程進(jìn)行，為后續(xù)題綜合解作準(zhǔn)備.

設(shè)直線y=kx+b與圓錐曲線F（x，y）=0的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），則

（1）聯(lián)立：F（x，y）=0，y=kx+b，即將圓錐曲線方程與直線方程組合成方程組，目的是“瞄”著交點(diǎn)的坐標(biāo)（即方程組的解）.

（2）消元：消去y得到關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（或消去x得到關(guān)于y的方程ay2+by+c=0，通常根據(jù)題目的需要或消元的難易程度以決定消去x還是消去y）.

（3）判別式：即Δ=b2－4ac. 當(dāng)a≠0時(shí)，Δ>0？圳直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)（即相交），Δ=0？圳直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)（即相切），Δ<0？圳直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)（即相離）；當(dāng)a=0時(shí)（此情形只出現(xiàn)在“開(kāi)放曲線”（雙曲線和拋物線）與直線聯(lián)立的情況下），在雙曲線中，直線與雙曲線的漸近線平行（與雙曲線相交于一點(diǎn)），在拋物80f215c2f7938656095dff1fc07469f7線中，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行（與拋物線交于一點(diǎn)）.

（4）韋達(dá)定理：即x1+x2=－■，x1x2=■，由此還可得到x1－x2=■.

（5）弦長(zhǎng)公式：AB=■·x1－x2=■■（也可利用y1=kx1+b，y2=kx2+b實(shí)現(xiàn)橫、縱坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化）.

（6）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則x0=■=－■，y0=kx0+b（中點(diǎn)坐標(biāo)通常借助韋達(dá)定理的兩根之和來(lái)獲得）.

（2012浙江）如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P1，■到拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線的距離為■，點(diǎn)M（t，1）是C上的定點(diǎn)，點(diǎn)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段AB被直線OM平分.

（1）求p，t的值；

（2）求△ABP面積的最大值.

思索 本題是圓錐曲線中典型的面積最值問(wèn)題，解析幾何中解決這類問(wèn)題的常規(guī)手段是函數(shù)法，即將面積表示成某一變量的函數(shù)，然后用函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等手段求其最值. 具體分以下三步：首先，選取某個(gè)量為主元變量，并考慮其取值范圍（即定義域）；其次，將面積表達(dá)成該變量的函數(shù)（即解析式）；最后，對(duì)該面積函數(shù)求最值.

破解 （1）易得p=■，t=1，即拋物線方程C：y2=x，點(diǎn)M（1，1）.

（2012四川）如圖2，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A（－1，0），B（2，0）構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.

（1）求軌跡C的方程；

（2）設(shè)直線y=－2x+m與y軸交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q，R，且PQ

思索 本題是綜合題中典型的動(dòng)點(diǎn)軌跡和相關(guān)量的取值范圍問(wèn)題，考查了“坐標(biāo)法”及方程思想，尤其是將幾何量∠MBA=2∠MAB及■代數(shù)化的過(guò)程中，充分體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”思想. 解析幾何中，將角度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)通常有兩種方法，一是用向量夾角公式進(jìn)行坐標(biāo)化，二是取正切后轉(zhuǎn)化為直線的斜率，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo). 本題中，由于A，B兩點(diǎn)均在x軸上，因此后者更能揭示其“本質(zhì)特征”. 對(duì)于■，直接使用弦長(zhǎng)公式即可轉(zhuǎn)化為有效的坐標(biāo)關(guān)系.

破解 （1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），則顯然有x>0，且y≠0. 當(dāng)∠MBA=90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，±3）；當(dāng)∠MBA≠90°時(shí)，由∠MBA=2∠MAB兩邊取正切易得3x2－y2－3=0. 而點(diǎn)（2，±3）也在曲線3x2－y2－3=0上，綜上可知，軌跡C的方程為3x2－y2－3=0（x>1）.

1. 歸納題型，注重通法

對(duì)圓錐曲線綜合題的每種題型及其處理方法都要細(xì)細(xì)總結(jié)，掌握其解題規(guī)律，并在頭腦中形成網(wǎng)絡(luò)體系，這樣在考試時(shí)才能做到胸有成竹，呼之即來(lái).

2. 數(shù)形結(jié)合，關(guān)注性質(zhì)

數(shù)形結(jié)合是解析幾何最明顯的特征，因此，充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，靈活運(yùn)用曲線本身的知識(shí)（如定義、性質(zhì)、焦半徑等）往往是解決問(wèn)題的突破口和簡(jiǎn)化運(yùn)算的關(guān)鍵. 比如，涉及圓錐曲線焦半徑時(shí)，要靈活運(yùn)用其定義；涉及圓的問(wèn)題時(shí)，要充分考慮圓的相關(guān)幾何性質(zhì)；對(duì)于線圓關(guān)系、圓圓關(guān)系要強(qiáng)化幾何處理，淡化代數(shù)處理.

3. 設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算

圓錐曲線問(wèn)題繁瑣的運(yùn)算主要集中在解方程、求交點(diǎn)等方面，如能充分挖掘曲線的代數(shù)含義，靈活運(yùn)用代數(shù)方程的知識(shí)（包括韋達(dá)定理、整體思想、對(duì)稱輪換、同解原理等），回避這些運(yùn)算，則往往可使問(wèn)題得到簡(jiǎn)便解決，從而提高解題的效率.