拋物線及其性質(zhì)

本部分內(nèi)容由拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其基本性質(zhì)組成. 在客觀題中，突出考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其基本性質(zhì)，解答題中主要考查拋物線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長公式、曲線導(dǎo)數(shù)的幾何意義等；同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算能力、邏輯思維能力、靈活運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力.

重點(diǎn)：熟練掌握拋物線的定義及四種不同的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，會根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究得出性質(zhì)，會由幾何性質(zhì)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 熟練運(yùn)用坐標(biāo)法，理解數(shù)形結(jié)合思想，掌握相關(guān)代數(shù)知識、平面幾何知識的運(yùn)用.

難點(diǎn)：把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，進(jìn)而把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”. 選擇合理、簡捷的運(yùn)算途徑，并實(shí)施正確的運(yùn)算. 靈活利用概念、平面幾何知識.

1． 拋物線及其性質(zhì)的基本思路

求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知方程的形式，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，一般用軌跡法；凡涉及拋物線的弦長、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問題時(shí)要注意運(yùn)用韋達(dá)定理；解決焦點(diǎn)弦問題，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)，針對y2=2px（p>0），設(shè)焦點(diǎn)弦為x=my+■，既方便消元，又可避免斜率不存在的情況；可能的情況下，注意平面幾何知識的應(yīng)用，達(dá)到“不算而解”的目的.

２． 拋物線及其性質(zhì)的基本策略

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

①定義法：根據(jù)條件確定動點(diǎn)滿足的幾何特征，從而確定p的值，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

②待定系數(shù)法：先定位，后定量.根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定參數(shù)p的值，這里要注意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，從簡單化角度出發(fā)，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)為y2=ax（a≠0）；焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)為x2=by（b≠0）.

（2）焦點(diǎn)弦問題和焦半徑

①焦半徑：拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)P（x0，y0）到焦點(diǎn)F■，0的距離PF=x0+■.

②通徑：過焦點(diǎn)F■，0且與x軸垂直的弦PQ叫通徑，PQ=2p.

③焦點(diǎn)弦的性質(zhì)：過F■，0的弦AB所在的直線方程為y=kx－■（k不存在時(shí)為通徑）.

④弦長：AB=x1+x2+p=■（θ為弦AB的傾斜角）；x1·x2=■，y1·y2= －p2；■+■=■；以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

在拋物線y2=4x上找一點(diǎn)M，使MA+MF最小，其中A（3，2），F(xiàn)（1，0），求點(diǎn)M的坐標(biāo)及此時(shí)的最小值.

思索 “看準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，可根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化從而獲得簡捷、直觀的求解. 數(shù)形結(jié)合是靈活解題的一條捷徑.

破解 如圖1，點(diǎn)A在拋物線y2=4x的內(nèi)部，由拋物線的定義可知，MA+MF=MA+MH，其中MH為M到拋物線的準(zhǔn)線的距離，過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M1，垂足為B，則MA+MF=MA+MH≥AB=4，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在M1的位置時(shí)等號成立，此時(shí)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（1，2）.

斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長.

思索 求焦點(diǎn)弦的弦長有多種方法，既要掌握運(yùn)算方法，也要考慮一些不算或少算的方法. 數(shù)形結(jié)合是解析幾何中重要的思想方法之一. 一些問題中，充分發(fā)揮“形”的作用，可以最大限度地減少運(yùn)算，“看出結(jié)果”. 我們不妨考慮問題的一般情形：斜率為k（傾斜角為θ）的直線l過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，如何“看出”焦點(diǎn)弦的弦長？

如圖2，由圖可以看出，F(xiàn)A=p－FAcosθ，F(xiàn)B=FBcosθ+p，所以AB=FA+FB=■+■=■. 求解過程非常直觀，在已知直線傾斜角的情形下，可以直接“看出”焦點(diǎn)弦的弦長. 直線斜率存在時(shí)，由k=tanθ，

破解 例2中，k=1（θ=45°），p=2，所以AB=8.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為■．

（1）求拋物線C的方程；

（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

思索 （1）由拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)形式可得點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，由圓心Q在弦OF的中垂線上可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離列出方程，確定p的值.

（2）存在性問題的常用方法是：先假設(shè)結(jié)論存在，進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，則否定假設(shè)；若推出合理的結(jié)果，說明假設(shè)成立.

思路1：先求切線MQ的方程，結(jié)合弦OF的中垂線方程解點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再由點(diǎn)Q在弦OM的中垂線上解題即可.

思路2：先由點(diǎn)Q在弦OF，OM的中垂線上，再結(jié)合切線QM斜率的不同形式表示，列出方程思考.

1． 立足課本，夯實(shí)基礎(chǔ)

掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，深化對基礎(chǔ)知識的理解，重視知識間的內(nèi)在聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識和能力.

2. 熟練通法，步步過關(guān)

對相對固定的題型，如弦長問題、面積問題等，解題思路、步驟相對固定，要以課本為例，以習(xí)題為模型，淡化技巧，理解通性通法，熟練步驟，能作出合理的算法途徑設(shè)計(jì)，基本問題運(yùn)算過關(guān)，破解“想得出，算不出、算不對”的瓶頸.

3. 重視拋物線的綜合問題

重視拋物線與直線、圓等的綜合研究，尤其是對性質(zhì)中的一些定點(diǎn)、定值及相關(guān)結(jié)論的深入探究.高考試題往往有對圓錐曲線某方面幾何性質(zhì)的考慮，對性質(zhì)深入的探究不在于知道一些結(jié)論，而是在這一過程中掌握探索的方法，理解解析幾何的基本思想方法.

4. 領(lǐng)悟思想方法，提升能力

拋物線及其相關(guān)問題的解決，往往蘊(yùn)含著豐富的思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，思想方法的理解是知識運(yùn)用的翅膀，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 在復(fù)習(xí)和解題過程中，要理解思想方法的內(nèi)涵、操作程序，從而提升自己運(yùn)用知識解決問題的能力.