雙曲線及其幾何性質

從高考內容上看，雙曲線標準方程及幾何性質是命題的熱點，題型多為客觀題，著重考查漸近線與離心率問題，難度不大，但有一定的靈活性.

重點：雙曲線的第一、第二定義， 雙曲線的標準方程，雙曲線的幾何性質，軌跡問題等.

難點：a，b，c，e等參數值的求法及其取值范圍問題的探討，直線與雙曲線位置關系相關的綜合問題.

（1）研究雙曲線上的點到其焦點的距離問題時，首先應考慮用定義來解題. 關注定義中的“絕對值”，若定義中去掉了“絕對值”，則點的軌跡是雙曲線的一支，由此導致一個點在雙曲線的左支和右支上的情形是不同的.

（2）研究雙曲線上一點與兩焦點組成的三角形（焦點三角形）問題時，在運用定義的同時還會經常用到正、余弦定理.

（3）求雙曲線的標準方程．

①定義法：分析題目條件是否滿足定義；求出a，b，c；寫出方程．

②待定系數法：確定焦點的位置；設出待求方程；確定相關系數；寫出方程．

（4）雙曲線的幾何性質常涉及一些不等關系，例如：雙曲線■－■=1中，x≥a或x≤－a，e>1等. 在求與雙曲線有關的一些量的范圍或與這些量有關的最值時會經常用到這些不等關系.解決雙曲線中有關變量的最值與取值范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數法． 若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法． 若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立起目標函數，再求這個函數的最值，這就是代數法．

（5）直線與雙曲線. 直線與雙曲線位置關系的判斷：直線與曲線的位置關系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數解的個數來確定，通常消去方程組中的變量y（或x）得到關于變量x（或y）的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有：Δ>0？圳直線與雙曲線相交于兩個點；Δ=0？圳直線與雙曲線相交于一個點；Δ<0？圳直線與雙曲線無交點． 若得到關于x（或y）的一元一次方程，則直線與雙曲線相交于一個點，此時直線平行于雙曲線的一條漸近線．

（6）直線與雙曲線相交時常見問題的處理方法：①涉及弦長問題，常用“根與系數的關系”，設而不求計算弦長. 直線l被雙曲線截得的弦長AB=■或AB=■，其中k是直線l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直線與雙曲線的兩個交點A，B的坐標，且（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2，x1+x2，x1x2可由韋達定理整體給出． ②涉及求平行弦中點的軌跡，求過定點的弦中點的軌跡和求被定點平分的弦所在的直線方程問題時，常用“點差法”設而不求，將動點的坐標、弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線：y＝kx＋m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點M，N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，－1），求實數m的取值范圍．

思索 ①涉及直線與雙曲線相交弦有關的參數范圍的問題，Δ>0是必不可少的條件． ②關于直線與雙曲線的某一支的相交問題，不但要考慮Δ>0，還要考慮方程根的取值范圍.

建議同學們在復習本節內容時重視以下幾個方面：

（1）重視定義在解題中的作用，對于雙曲線的兩種定義，要在訓練的過程中加強理解和掌握.

（2）重視平面幾何知識在解題中的作用，解題過程中應借助圖形分析條件，尋求最優解法.

（3）重視設而不求的整體化處理思想的應用，遇到有關直線與雙曲線交點及相關問題時，若解方程組求交點，往往運算量大，易出差錯，設而不求利用根與系數的關系便可簡捷求解.

（4）重視曲線的幾何特征與方程的代數特征在解題中的作用．