橢圓及其性質

重點：（1）掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及其簡單幾何性質.

（2）了解橢圓的簡單應用；理解數形結合的思想.

（3）掌握直線與橢圓有關的各種題型的解決方法.

難點：（1）理解并掌握橢圓的基本概念、標準方程及其簡單的基本性質.

（2）能解決直線與橢圓的有關綜合問題.

（1）求橢圓的標準方程主要有定義法和待定系數法，對于用待定系數法求橢圓的標準方程，應學會從“定形、定位、定量”三方面來分析求解橢圓方程.

（２）焦點三角形問題，通常從以下幾個方面入手：①定義；②正、余弦定理；③三角形面積公式.

（3）橢圓離心率問題，一般不直接求出a，c的值，而是根據題目給出的橢圓的幾何特征，建立關于參數a，b，c的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍.

（4）在橢圓中的一些求取值范圍及最值的問題中，常將所求量表達為其他量的函數，然后用函數的方法解決.　另外要注意考慮橢圓標準方程中x，y自身的取值范圍.

（5）在直線與橢圓的問題中，常用韋達定理，“設而不求”，巧用公式，通過這些過渡變量使問題得以解決；而在解決弦中點及直線斜率的相關問題中，“點差法”的用處更不容小覷.

（橢圓定義的運用）一動圓與已知圓O1：（x+3）2+y2=1外切，與圓O2：（x-3）2+y2=81內切，求動圓圓心的軌跡方程.

思索 兩圓相切時，圓心之間的距離與兩圓半徑有關，據此可得出動圓圓心滿足的條件，進而利用橢圓的定義求出軌跡方程.

破解 設動圓的圓心為M，動圓的半徑為r，由已知可得MO1=1+r，MO2=9－r，MO1+MO2=10>O1O2=6.　由橢圓的定義可知，點M的軌跡是在以O1，O2為焦點的橢圓上，其中a=5，c=3，b2=a2－c2=16，則所求的軌跡方程為■+■=1.

點評 利用圓與圓內切或外切時半徑之間的關系，轉化為用橢圓的定義來處理，這是解決此類問題的一種通法，類似也可得到如下變式.

①變式問題一：一動圓與已知圓O1：（x+3）2+y2=1及圓O2：（x-3）2+y2=81均內切，求動圓圓心的軌跡方程.

②變式問題二：一動圓與已知圓O1：（x+3）2+y2=1外切，與圓O2：（x-3）2+y2=4內切，求動圓圓心的軌跡方程.

③變式問題三：一動圓與已知圓O1：（x+3）2+y2=1內切，與圓O2：（x-3）2+y2=4外切，求動圓圓心的軌跡方程.

④變式問題四：一動圓與已知圓O1：（x+3）2+y2=1及圓O2：（x-3）2+y2=4均相切，求動圓圓心的軌跡方程.

（突破焦點三角形問題）已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2=60°，求橢圓離心率的范圍.

思索 研究橢圓離心率問題，關鍵是利用題目給出的橢圓的幾何特征，建立關于參數a，b，c的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍.　另外，與焦點三角形有關的計算常利用圓錐曲線定義、正余弦定理、均值不等式，等等.

點評 此解法將所求離心率e表達為點P的橫坐標x0的函數，但切記不能忽略x0的取值范圍.　考慮到焦點三角形也屬于解三角形問題，知道邊角關系考慮正弦定理及和分比定理亦可求解，同學們不妨一試.

①變式問題一：已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，　∠F1PF2=90°，求橢圓離心率的范圍.

②變式問題二：已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，若∠F1PF2為銳角，求橢圓離心率的范圍.

③變式問題三：已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，若∠F1PF2為鈍角，求橢圓離心率的范圍.

點評 與弦中點有關的問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在的直線斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化.　同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量之間的關系進行靈活轉化，往往能事半功倍.

1.　夯實基礎、落實基本技能

在復習時，首要的任務是準確地理解概念，牢記重要公式，熟練掌握基本方法，洞曉考試內容所涉及的各個知識點.　因此一定要精通課本.另外要有一個清晰的知識框架，積累常用模型（如求橢圓離心率和離心率的取值范圍，焦點三角形的相關問題），熟練通用方法，落實基本技能.

2.　注重對數學思想方法的提煉

新課標高考講究能力立意，對數學思想方法的考查貫穿始終，在復習時要注重強化數學思想方法，特別是函數方程、等價轉化、分類討論、數形結合等思想在題目中的滲透.

3.　注重加強運算能力的訓練

橢圓的綜合問題往往思路明確，但對數學運算能力的要求較高，不易算出結果.在備考過程中，要注意運算能力的訓練，同時加強對算法、算理的訓練及總結.

4.　特別注意解題后的總結與反思

有許多同學反映平時已做了大量的試題，但總覺得效果不明顯，水平提高很有限，在考試中對付這類試題總還是心里沒底．　不注意解題后的總結與反思是其中的主要原因，所以在平時訓練中，要特別注意解題后的總結和反思，做到舉一反三，觸類旁通，提高復習的效率.