直線與圓、圓與圓的位置關系

本部分內容由直線與圓的位置關系和圓與圓的位置關系組成.　直線與圓主要考查位置關系的判斷，利用位置關系解決切線方程、公共弦方程及弦長等有關直線與圓的問題；圓與圓主要考查位置關系的判斷及簡單應用.

重點：掌握直線與圓、圓與圓的位置關系的判定方法，尋求圓的弦長、切線長、圓的切線方程等問題的最優解法.

難點：圓的弦長問題，求與圓有關的軌跡問題等.

1.　判斷直線與圓的位置關系的兩種常見方法

（1）幾何法：①確定圓的圓心坐標和半徑r；②計算圓心到直線的距離d；③判斷d與圓半徑r的大小關系：d>r？圯相離，d=r？圯相切，d

（2）代數法：①把直線方程代入圓的方程；②得到一元二次方程；③求出Δ的值：Δ>0？圯相交；Δ=0？圯相切；Δ<0？圯相離.

2.　計算直線被圓所截得的弦長的常用方法

（1）幾何法：運用由半徑、弦心距和半弦長所組成的直角三角形求解（有關位置判斷、弦長、弦心距等問題優先利用幾何方法）.

（2）代數法：運用韋達定理及弦長公式.

3.　解決圓與圓的位置關系問題的基本思路

（1）用圓心之間的距離d與兩半徑r1，r2的和或差進行大小比較：d>r1+r2？圯相離；d=r1+r2？圯相外切；r1－r2

（2）圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交所得的公共弦方程為（D1－D2）x+（E1－E2）y+（F1－F2）=0.

（2012重慶）對任意的實數k，直線y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關系一定是（ ）

A．　相離

B．　相切

C．　相交但直線不過圓心

D．　相交且直線過圓心

思索 處理判斷直線與圓的位置關系問題，可以用代數法聯立方程組，也可以用幾何法比較點到直線的距離與半徑的大小，我們應根據題目選擇合適的方法.　當然，特殊的題目還有更為快捷的方法.

破解 （法一）圓心C（0，0）到直線kx－y+1=0的距離為d=■<■<■=r，且圓心C（0，0）不在該直線上.　故選C.

（法二）直線kx－y+1=0恒過定點（0，1），而該點在圓C內，且圓心不在該直線上，故選C.

過點（3，3）作圓x2－2x+y2－3=0的切線，切線方程為______.

思索 求過圓外一點（x0，y0）的圓的切線方程：①幾何方法.設切線方程為y－y■=k（x－x0），由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，切線方程即可求出.　②代數方法.　設切線方程為y－y0=k（x－x0），與圓的方程聯立，得到一個關于x的一元二次方程，由Δ=0求得k，切線方程即可求出.　兩種方法都需注意，若只求出了一條切線方程，則還有一條斜率不存在的切線.

破解 設切線的斜率為k，則切線方程為y－3=k（x－3），即y－kx+3k－3=0，圓心到直線的距離d=■=2，得到k=■，所以切線方程為5x－12y+21=0.　當k不存在時，x=3亦為切線方程.所以切線方程為5x－12y+21=0和x=3.

（2012天津）設m，n∈R，若直線l：mx+ny－1=0與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長為2，O為坐標原點，則△AOB面積的最小值為______.

思索 本題的突破口仍然是直線與圓相交，利用幾何方法中的特殊三角形得到m，n的關系式，則A，B兩點的坐標可以求出，而△AOB為直角三角形，面積可以用m，n表示，進而求解.　注意基本不等式的應用.

（2010山東）已知圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y=x－1被該圓截得的弦長為2■，求圓C的標準方程.

思索 利用幾何方法，由半徑、弦心距和半弦長所組成的直角三角形求解.

破解 設圓心為（a，0），則圓心到直線x－y－1=0的距離為d=■.因為圓截直線所得的弦長為2■，根據半弦、半徑、弦心距之間的關系有■■+2=（a－1）2，即（a－1）2=4，所以a=3或a=－1（舍去），則半徑r=3－1=2，圓心為（3，0）.　所以圓C的標準方程為（x－3）2+y2=4.

（1）已知直線l：y=x+b與曲線C：y=■有兩個不同的公共點，求實數b的取值范圍；

（2）若關于x的不等式■＞x+b的解集為R，求實數b的取值范圍.

思索 應用數形結合方法，畫出草圖.注意曲線為半個圓.

破解 （1）如圖1（數形結合），方程y=x+b表示斜率為1，在y軸上的截距為b的直線l；方程y=■表示單位圓在x軸上及其上方的半圓.　當直線過B點時，與半圓交于兩點，此時b=1，直線即為l1；當直線與半圓相切時，b=■，直線即為l2.　直線l要與半圓有兩個不同的公共點，必須滿足l在l1與l2之間（包括l1但不包括l2），所以1≤b<■，即所求b的取值范圍是［1，■）.

（2）不等式■＞x+b恒成立，即半圓y=■在直線y=x+b上方，當直線l過點（1，0）時，b=－1，所以所求b的取值范圍是（－∞，－1）.

已知在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y■－8x+15=0，如果直線y=kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，那么k的最大值是_______.

思索 本題考查圓與圓的位置關系.　圓與圓有公共點，所以位置關系為相切或相交.　設出動圓的圓心坐標，求出兩圓圓心距離的范圍，轉化為點到線的距離.

破解 因為圓C的方程可化為（x－4）2+y2=1，所以圓C的圓心為（4，0），半徑為1.　由題意，直線y=kx－2上至少存在一點A（x0，kx0－2），以該點為圓心，　1為半徑的圓與圓C有公共點，所以存在x0∈R，使得AC≤1+1成立，即ACmin≤2.　又因為ACmin即為點C到直線y=kx－2的距離■，所以■≤2，解得0≤k≤■.　所以k的最大值是■.

已知圓O的方程為x2+y2=4，定點A（4，0），求過點A且和圓O相切的動圓圓心的軌跡方程.

思索 利用兩圓相切時圓心距與兩半徑和或差的關系，列出關系式.注意兩種相切的形式.

破解 設動圓的圓心為P（x，y），因為動圓過定點A，所以PA即為動圓半徑.　當動圓P與圓O外切時，PO=PA+2；當動圓P與⊙O內切時，PO=PA－2.　結合這兩種情況，可得PO？搖－PA？搖=2.　將此關系式坐標化，得■－（x－4）2+y2■=2，化簡可得（x-2）2－■=1.