直線方程與兩條直線的位置關系

直線方程與兩條直線的位置關系是高考考查的主要內容.　考查直線方程的特征值（例如斜率、截距）、直線的平行與垂直的條件，以及與距離有關的問題.　在選擇題和填空題方面，大都屬于中、低檔題，考查直線的基本概念和幾何要素；而在解答題方面，直線往往與圓、圓錐曲線綜合考查，具有一定的靈活性.　同時，我們要了解直線的斜截式方程與一次函數的關系，對有關函數、不等式等代數問題能夠借助直線方程進行解決，提高解題的綜合運用能力，比較典型的是線性規劃問題.

（1）對于直線方程，重點是掌握其五種表達形式，難點是在具體的數學問題情境中正確選擇直線的方程形式.

（2）對于兩條直線的位置關系，重點是掌握平行和垂直關系，難點是點線對稱問題.　若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，則①l1∥l2？圳k1=k2，b1≠b2；②l1⊥l2？圳k1k2=－1.　若l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，則①l1∥l2？圳A1B2－A2B1=0，A1C2－A2C1≠0；②l1⊥l2？圳A1A2+B1B2=0.

（1）分類討論思想：由于有的直線不存在斜率，所以在解答直線方程問題時，我們往往要分類討論直線斜率是否存在，避免漏解.

（2）數形結合思想：“數缺形時難直觀”，數形結合思想就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，將抽象思維與形象思維相結合，使數學問題化抽象為具體.　將二元一次方程（即直線的方程）用直線表示，可以形象直觀地看到直線的幾何特性，從而為解題指出正確的方向，尤其對于最值問題和對稱問題.

（3）設直線方程的一些常用技巧：

①若直線在y軸上的截距為b，則設其為y=kx+b.

②若直線在x軸上的截距為a，則設其為x=my+a其中m=■.

③若直線存在斜率k，則設其為y=kx+b.

④若直線過點P（ｘ0，ｙ0），則設其為y－y0=k（ｘ－ｘ0）.

⑤若與直線Ax+By+C=0平行，則設其為Ax+By+C′=0（Ｃ≠Ｃ′）.

⑥若與直線Ax+By+C=0垂直，則設其為Bx－Ay+C′=0.

⑦若與直線y=kx+b平行，則設其為y=kx+b′（ｂ≠ｂ′）.

⑧若與直線y=kx+b（k≠0）垂直，則設其為y=－■x+b′.

（4）轉化思想：將直線幾何問題代數化，用代數的語言描述直線的幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題；將代數問題幾何化，用直線的幾何特性理解二元一次方程，將代數問題轉化為幾何問題.

直線l1過點P（－1，2），且與直線l2：2x－3y+4=0垂直，則直線l1的方程是（ ）

A.　3x+2y－1=0 B.　3x+2y+7=0

C.　2x－3y+5=0 D.　2x－3y+8=0

思索 ①與直線Ax+By+C=0垂直的直線的方程可設為Bx－Ay+C′=0；②若直線l1和直線l2存在斜率k1，k2，則l1⊥l2？圳k1·k2=－1.

破解 （法一）因為l1⊥l2，所以設直線l1的方程為－3x－2y+C=0（Ｃ為待定的系數）.　因為直線l1過點P（－1，2），所以－3×（－1）－2×2+C=0，即C=1.　所以直線l1的方程為－3x－2y+1=0，即3x+2y－1=0，選項A正確.

（法二）直線l2：2x－3y+4=0的斜率k2=■，因為l1⊥l2，所以k1·k2=－1，故k1=－■.　因為直線l1過點P（－1，2），所以直線l1的方程為y－2=－■（x+1），即3x+2y－1=0，選項A正確.

（2012浙江）設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）

A．　充分不必要條件

B．　必要不充分條件？搖？搖？搖？搖？搖

C．　充分必要條件

D．　既不充分也不必要條件

思索 對于直線l1：A1x+B1y+C1=0和直線l2：A2x+B2y+C2=0，有l1∥l2？圳A1B2－A2B1=0，A1C2－A2C1≠0.

破解 ①當a＝1時，因為a（a+1）－2×1=0，且4a－（－1）×1=5≠0，所以l1∥l2.　所以“a＝1”是“l1∥l2”的充分條件.

②當l1∥l2時，則a（a+1）－2×1=0，4a－（－1）×1≠0，　即a＝1，或a＝－2.　所以“a＝1”是“l1∥l2”的不必要條件.

綜合①和②，正確答案是A.

■？搖　（2012天津）已知函數y=■的圖象與函數y=kx-2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________.

思索 對于該題，命題者表面呈現給我們的是考查函數與方程，實質上是考查直線方程和數形結合的思想.　第一步，作出函數■的圖象；第二步，認識到函數y=kx-2的圖象就是直線，該直線的幾何特性就是斜率為k，在y軸上的截距為－2；第三步，分析k值發生變化時兩個函數圖象的交點個數，確定有兩個交點時k的取值范圍.

破解 由已知可得函數■=■，從而化簡得函數y=x+1， x<－1或x>1，－x－1. －1

因為函數y=kx-2的圖象是一條在y軸上的截距為－2（即過點P（0，－2））的直線l，要使直線l與函數y=■的圖象有兩個不同的交點，則直線l既與線段CD（不含端點）相交，又與射線BA相交，所以0

高考考綱明確指出：“理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；掌握確定直線位置關系的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）；能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.”　所以，備考直線的方程與兩條直線的位置關系，一方面要重視抓基礎，強化基本概念的理解（如傾斜角、斜率、截距），掌握直線方程的多種表述形式，理解直線平行或垂直與兩直線斜率的關系，為后繼圓和圓錐曲線的備考做實基礎；另一方面，強化思想方法訓練（如坐標法、分類討論思想、數形結合思想、轉化法等），培養綜合能力.