精準制導，直擊六類解幾典型錯誤

1．　思考問題不縝密，對隱含條件挖掘不充分．

2．　對參數的具體范圍限制不準，求軌跡方程時忘了考慮實際意義而未除去不合題意的解．

3．　分類討論意識不強，解題過程不嚴密而導致錯解．　分類討論是解圓錐曲線問題的常用方法，對于同一類圓錐曲線的焦點在x軸上或y軸上的問題，應用分類討論來解．　判斷直線與圓錐曲線的位置關系，求曲線的軌跡方程，只要所給問題含有字母參數，一般都離不開分類討論．

4．　在用圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程中要注意二次項的系數為零的情況，以及判別式Δ≥0的限制．對于求交點、弦長、中點、斜率、對稱點、存在性問題等都應當在Δ>0的限制下實施．

5．　由于思維定式的消極影響，造成生搬硬套、張冠李戴的錯解現象．

6．　不能用適當的計算技巧避開繁瑣的計算．

過點P（1，2）總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2－15=0相切，則k的取值范圍是________．

錯解 當點P在圓外時，過點P可作圓的兩條切線，即12+22+k+4+k2－15>0，化簡得k2+k－6>0，解得k>3或k<－2．

剖析 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件為D2+E2－4F>0.我們如果忽略了這一限制條件，就會擴大參數的取值范圍．　解題時，我們在關注題目關鍵字的同時要深挖題目本身所具備的隱含條件．

等腰三角形的頂點是A（4，2），底邊的一個端點是B（3，5），求另一個端點C的軌跡方程．

錯解 設點C的坐標為（x，y），由AC=AB得（x－4）2－（y－2）2=10．

剖析 解題后沒有認真檢驗，造成解的不嚴密．　實際上題目要求的幾何條件有兩個：①A，B，C三點要組成三角形；②A，B，C三點組成的三角形是等腰三角形.　錯解在解題過程中只是根據條件②“AC=AB”將軌跡方程轉化為對應的含x，y的方程，因此所求出的方程能滿足條件②而無法保證滿足條件①．　求三角形頂點的軌跡要考慮三點是否共線，這往往是易被我們忽視的一個問題．

正解 設點C的坐標為（x，y），依題意得AC=AB，由兩點間的距離公式，可得：■=■，兩邊平方得（x－4）2+（y－2）2=10．

又A，B，C為三角形的三個頂點，所以A，B，C三點不共線，即點B，C不能重合且B，C不能為一直徑的兩端點，所以點C的橫坐標x≠3且■≠4，點C的橫坐標x≠3且x≠5．　故點C的軌跡方程是（x－4）2+（y－2）2=10（x≠3且x≠5）．

剖析 （1）雙曲線的定義掌握不夠熟練，屬于概念性錯誤；

（2）未進行分類討論，雙曲線上的點P可能有兩種情況：P在左支上或在右支上．

正解 由雙曲線第一定義：PF1－PF2？搖=8，所以9－PF2=8，所以PF2=1或17．　當P在左支上時，P到右焦點F2的距離最小值為c+a=10；當P在右支上時，P到右焦點F2的距離最小值為c-a=2．　因此，應排除PF2=1，點P到焦點F2的距離為17．

若動圓P過點N（－2，0），且與圓M：（x－2）2+y2=8外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．

剖析 沒有考慮到動圓圓心P的取值范圍，也就是在求軌跡方程過程中沒有檢驗曲線和方程是否等價．

正解 由PN=r和PM=r+2■直接消去r得到PM－PN=2■，由雙曲線的定義知所求曲線為雙曲線的一支，使用定義法得a=■，c=■=2，b=■，所以所求軌跡方程為■－■=1（x≤－■）．

■ 設F1，F2分別是橢圓■+y2=1的左、右焦點．　設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

錯解 顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：y=kx+2，A（x1，y2），B（x2，y2），聯立y=kx+2，x2+4y2－4=0，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16kx+12=0　①.

剖析 以上解答看似天衣無縫，實則犯了我們經常會忽視的錯誤，即忽略了方程①必須滿足Δ>0這個條件，從而導致參數k的取值范圍不準確．　在考慮用違達定理前，不應忘記對根的存在性的判定．

正解 由Δ=（16k）2－4（1+4k2）×12=16（4k2－3）>0得k<－■或k>■，將其與－2

設點A的坐標為（a，0）（a∈R），則曲線y2=2x上的點到A點的距離的最小值為________．

錯解 設最小值為d，則d2=（x－a）2+y2=x2－（2a－2）x+a2=［x－（a－1）］2+（2a－1）．　a∈R，所以x=a－1時，d2取最小值2a－1，所以dmin=■．

剖析 忽視了拋物線中x的取值范圍．　圓錐曲線中，坐標的取值范圍是有限制的，如圓x2+y2=r2中，－r≤x≤r；橢圓■+■=1中，－a≤x≤a；雙曲線■-■=1中，x≤－a或x≥a．

正解 接上，因為x∈［0，+∞），所以當a≥1時，d■■=2a－1，dmin=■；當a<1時，d■■=a2，dmin=a．

已知F是拋物線y2=4x的焦點，Q是準線與x軸的交點，直線l經過點Q且與拋物線有唯一公共點，求直線l的斜率．

錯解 由題知：Q（-1，0），設直線l的方程為y=k（x+1），聯立y=k（x+1），y2=4x得k2x2+（2k2－4）x+k2=0.　因為直線l與拋物線有唯一公共點，所以Δ=（2k2－4）2－4k4=0，解得k=1或k=－1．

剖析 直線與曲線有唯一公共點，只有聯立直線方程和曲線方程，所得的是一元二次方程時，其充要條件才是Δ=0，而本題中涉及方程k2x2+（2k2－4）x+k2=0的二次項系數是k2，需對k=0與k≠0兩種情況進行討論．　直線和圓錐曲線的位置關系一直是高考考查的重點，我們在設直線時一定要把握如下原則，即首先判斷直線斜率是否存在，在斜率存在的情況下，再討論斜率為零與不為零的情形．　比如此題我們可作如下改編，過點（0，1）作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，這樣的直線有（ ）

A．　1條 B．　2條

C．　3條？搖 D．　0條

正確答案為3條，這里我們就需要首先考慮斜率不存在的情況．

正解 當k=0時，方程有一根，此時也滿足直線與拋物線有唯一公共點；當k≠0時，Δ=（2k2－4）2－4k4=0，解得k=1或k=－1．　因此，所求直線的斜率為k=0或k=1或k=－1.