2012年高考平面解析幾何全解讀

本專題內容主要包含直線的方程、圓的方程，直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，橢圓、雙曲線和拋物線的定義、標準方程及其幾何性質的應用，曲線與方程等知識，是高考考查的重點內容．　平面解析幾何知識在歷年高考試題中都占有較大的比重，一般選擇題、填空題有2題左右，解答題1題，分值大約20分．　選擇題、填空題主要考查直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，圓錐曲線（橢圓、雙曲線和拋物線）的定義、方程和其簡單幾何性質的應用等重要知識，關注基礎知識的應用、運算能力和數形結合思想的滲透．解答題大多數以圓錐曲線（主要是橢圓和拋物線）為載體，綜合直線、圓、向量、不等式等知識，并與數學思想方法緊密結合，對坐標法思想、方程思想、數形結合思想、等價轉化思想、設而不求思想等進行較為深入的考查，體現了能力立意的命題原則．

1．　考綱解讀：

（1）在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素（兩個點、一點和方向）．

（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；了解直線的傾斜角的范圍；理解直線的斜率和傾斜角之間的關系，能根據直線的傾斜角求出直線的斜率．

（3）根據斜率判定兩條直線平行或垂直，根據兩條直線平行或垂直的位置關系求直線方程中參數的值．

（4）根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）的特點和適用范圍；根據問題的具體條件選擇恰當的形式求直線的方程；體會斜截式與一次函數的關系．

（5）了解二元一次方程組的解與兩直線交點坐標之間的關系，體會數形結合思想；能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標．

（6）探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式；會求兩條平行直線間的距離．

2．　考場對接：

通過2012年的考點統計可以看出，在高考題中，本節內容主要以選擇題、填空題為主要題型，考查兩直線的位置關系，屬于基礎題，難度不大．對直線與方程的考查，還滲透在平面解析幾何的解答題中，與其他知識（圓與圓錐曲線）結合出題．

3．　經典例題：

（2012浙江）設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）

A．　充分不必要條件

B．　必要不充分條件

C．　充分必要條件

D．　既不充分也不必要條件

失分警示 本題屬于基礎題，解題時注意判斷充分必要條件的步驟，即先驗證充分性，再驗證必要性，最后綜合起來下結論．　在表述的時候要弄清順序關系，以防發生概念錯誤．

方法突破 在研究充分和必要條件時，可先求一者的等價條件，再和另一者作比較．

完美答案 當a＝1時，直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0顯然平行；若直線l1與直線l2平行，則有■=■，解得a＝1或a＝-2．　故選A．

4．　命題趨勢：

直線的方程、兩直線的位置關系、距離問題一直是高考考查的熱點問題，單純考查直線的知識一般在選擇題、填空題中出現；直線和其他知識的交匯問題一般出現在解答題中，有一定的難度．

1．　考綱解讀：

（1）回顧確定圓的幾何要素（圓心、半徑，不在同一直線上的三個點等），在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程；根據問題的條件，選擇恰當的形式求圓的方程；理解圓的一般方程和標準方程之間的關系，會進行互化．

（2）根據給定直線和圓的方程，判斷直線與圓的位置關系（相交、相切、相離）；根據圓的方程判斷圓與圓的位置關系（外離、外切、相交、內切、內含）．

（3）用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．

（4）在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的思想，感受“數”與“形”的對立和統一；初步掌握數形結合的思想方法在研究數學問題中的應用．

（5）通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置；掌握空間兩點間的距離公式及其應用．

2．　考場對接：

圓的方程，直線與圓、圓與圓的位置關系是高考考查的重點，在2012年高考試題中，主要在選擇題、填空題中考查直線與圓、圓與圓的位置關系，尤其是含參數的問題，考題基本上屬于中低檔難度的題．

3．　經典例題：

（2012天津）設m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y－2=0與圓（x－1）2+（y－1）2=1相切，則m+n的取值范圍為（ ）

失分警示 本題屬于中檔題，考查直線與圓的位置關系，不等式的性質.　注意不要忽略了m，n∈R這個條件，在運用基本不等式時注意其成立的條件，求取值范圍時注意不要擴大或縮小范圍．

方法突破 由直線與圓相切的條件可以得到一個關于m，n的等式，觀察等式的性質，利用基本不等式的形式消除差異，化為關于m+n的不等式，解出其取值范圍即可．

完美答案 因為直線（m+1）x+（n+1）y－2=0與圓（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化簡得mn=m+n+1.　又當m，n∈R有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■.　故選D．

■ （2012江蘇）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2－8x+15=0，若直線y=kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_________．

失分警示 本題屬于中檔偏難題，解答本題時不要被題中的表面意思所迷惑，要透過現象看本質，認真審清題意，將題意中的關系進行合理的轉化．

方法突破 數形結合理解題意，將兩圓的位置關系化為圓C的圓心到直線y=kx－2的距離的取值范圍問題去處理．

完美答案 圓C的方程可化為（x－4）2+y2=1，若直線y=kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則圓C上的點到直線上的點的距離的最小值小于或等于1，則圓心C（4，0）到直線y=kx－2的距離小于等或等于2.　所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．

4．　命題趨勢：

預計2013年高考仍將在選擇題、填空題中考查圓方程的求解，直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷，特別是含參數的位置關系問題仍將是考查的重點和熱點．　而在解答題中，則有可能考查以圓為背景的綜合試題，特別是圓與圓錐曲線的整合問題．

1．　考綱解讀：

（1）了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用．

（2）掌握橢圓的定義和幾何圖形及標準方程，會求橢圓的標準方程；掌握橢圓的簡單幾何性質，能運用橢圓的標準方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題．

2．　考場對接：

縱觀2012年高考數學試題可以看出，選擇題、填空題主要考查橢圓的定義、標準方程和幾何性質的理解與應用，橢圓的離心率等相關知識，難度中等；解答題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質的應用，特別地，直線與橢圓的位置關系問題是考查的熱點問題，且有一定的難度．

3．　經典例題：

失分警示 結合圖形，審清題意，注意三角形哪個角是底角，細心運算，避免發生運算失誤．

方法突破 求解圓錐曲線的離心率（或其范圍）的關鍵是根據已知條件尋求一個關于a，b，c的等式（或不等）關系，再結合a，b，c的固有關系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）關系，從而求得離心率（或其范圍）．

4．　命題趨勢：

橢圓是命題的熱點內容，預計2013年的高考仍將在選擇題、填空題中考查橢圓的標準方程、離心率的求解等知識，難度中等；將在解答題中重點考查直線與橢圓的位置關系問題，可能還會出現一些創新題型，如新定義題型、探索性問題、定點定值問題等，此類問題難度較大．同時，會加強橢圓與圓，橢圓與雙曲線，橢圓與拋物線等知識的交匯問題的考查力度．

1．　考綱解讀：

了解雙曲線的定義、圖形和標準方程，會求雙曲線的標準方程；會用雙曲線的標準方程處理一些簡單的實際問題；了解雙曲線的簡單幾何性質．

2．　考場對接：

分析2012年高考試題可以看出，雙曲線的考題基本上以選擇題、填空題為主，主要考查雙曲線的定義、方程和簡單幾何性質的應用，且出現了雙曲線和圓、橢圓、拋物線等的整合問題，總體難度中等．

3．　經典例題：

（2012浙江）如圖1，F1，F2分別是雙曲線C：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M．　若MF2＝F1F2，則C的離心率是（ ）

失分警示 本題的解題思路并不難得出，但運算量較大，在認真審題的前提下避免發生運算錯誤，同時注意雙曲線的離心率的取值范圍，謹防增根．

方法突破 本題考查雙曲線的幾何性質的應用，離心率的求解，突破的關鍵是正確求出P，Q兩點的坐標（用a，b，c表示），再求出PQ的垂直平分線的方程，進而用a，b，c表示出M的坐標，由MF2＝F1F2列出等式，最終化為a，c的關系．

4．　命題趨勢：

預計2013年高考仍將在選擇題、填空題中考查雙曲線的標準方程的求法、定義和幾何性質的應用，其中離心率的求解和漸近線問題是考查的熱點．　此外，仍會加強將雙曲線和其他知識（如圓、橢圓、拋物線）進行交匯出題，題目難度中等偏低．

1．　考綱解讀：

（1）掌握拋物線的定義、圖形和標準方程，會求拋物線的標準方程；掌握拋物線的簡單性質，會用拋物線的標準方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題．

（2）了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系；了解求曲線方程的一般步驟，能求一些簡單曲線的方程；掌握求直線和圓錐曲線的交點坐標的方法；進一步體會數形結合思想．

2．　考場對接：

透過2012年高考數學試題可以看出，拋物線是考查的熱點問題，考題既在選擇題、填空題中出現，也在解答題中出現．選擇題、填空題重點考查拋物線的標準方程的求法，拋物線的定義和性質的應用，以及拋物線在實際問題中的應用，同時還出現了拋物線與雙曲線的交匯問題，難度中等．　解答題重點考查直線與拋物線的位置關系，拋物線與其他知識（如圓、不等式等）的整合問題，且出現了探索性問題，難度較大．而曲線與方程的考查則滲透在以上各大知識板塊之中．

3．　經典例題：

（2012安徽）過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是原點，若AF=3，則△AOB的面積為（ ）

失分警示 本題屬于中檔題，有一定的思維量，認真審題，找準關系，運算準確，避免發生思維受阻和運算錯誤．

方法突破 顯然AB是拋物線的焦點弦，且已知AF=3，若結合拋物線的定義，則可以求點A的坐標，從而直線AB的方程便可以得到解決，具體見如下的解法一．　本題也可以設角度（見如下的解法二），通過三角關系來表示線段的長度，從而求出三角形的兩邊及其夾角的正弦值，再求面積．

（1）求拋物線C的方程；

（2）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若點M的橫坐標為■，直線l：y=kx+■與拋物線C有兩個不同的交點A，B，l與圓Q有兩個不同的交點D，E，求當■≤k≤2時，AB2+DE2的最小值．

失分警示 本題難度較大，綜合性強，涉及的知識點多，屬于直線、圓和拋物線的綜合問題，解答時要注意數形結合思想的使用，審清題意.　解答第（1）小題難度不算大，但第（2）小題是一個探索性問題，有較大的運算量，需要扎實的運算功底，第（3）小題將直線、圓和圓錐曲線綜合起來，難度較大，需要較強的分析問題和解決問題的能力．

方法突破 第（1）小題結合拋物線的定義以及圓的相關性質可以列出一個關于p的方程，求解即可；第（2）小題可先假設存在點M，利用拋物線的切線斜率和直線MQ的斜率相等列等式求解；第（3）小題的解題目標是將AB2+DE2表示為關于k的函數，從而化為求函數的最值問題去處理，但求兩線段的長度需要用到直線與圓錐曲線相交弦長公式AB=■，以及直線與圓的相交弦長公式DE=2■等．

完美答案 （1）x2=2y．

4．　命題趨勢：

預計2013年高考中，拋物線仍是考查的一大重點，拋物線的標準方程的求法，拋物線的定義和性質的應用，拋物線與其他知識的交匯問題仍將是命題的熱點．此外，定值定點問題、探索性問題、軌跡方程問題、最值問題仍將是試題創新的一個方向．