例談小學高段數學優化問題教學

數學優化問題，是指在解決問題時面對多種可行的策略、方案或答案，教師要引導學生從中尋找一種最佳的策略、方案或答案。在數學教學活動中，解決數學問題的方法可能很容易找到，且很多時候不止一種，關鍵要引導學生從中尋找一種最好的解決方法，以達到“事半功倍”的良好效果。下面筆者結合教學實例，來談談小學高段數學優化問題的教學。

一、數學優化問題的價值與教材編排

通過數學優化問題的教學，教師可以培養學生的優化意識，從而提高解決實際問題的效能。

在人教版實驗教材的編排中，數學優化問題作為專題學習內容，主要有小學低段二年級上冊“簡單的排列——兩位數”、三年級上冊“簡單的排列——三位數”以及“簡單的組合”，小學高段安排了三個典型的活動材料對優化問題進行了充分的學習探究，具體內容如下：

二、現階段數學優化問題教學中存在的問題

數學優化問題的教學，是以數學知識為載體，引導學生對優化問題進行認知和探索，體驗解決問題的優化策略，培養在多種方案中尋找最佳方案的意識。但是在實際教學中，教師往往把它當成一個普通的數學知識點進行教學，以學生掌握知識、解決數學問題為目的，忽視了學生優化意識的培養和優化能力的發展。

下面筆者就高段教材中的三個數學優化專題教學中存在的問題進行探討。

烙餅問題：為什么烙餅（兩張以上）的次數總等于餅的個數？

教學“烙餅問題”時，教師先出示烙餅的方法情境：烙餅的鍋一次只能放兩個餅，兩面都要烙，每面3分鐘。于是在烙一個餅和兩個餅時，學生能很快說出烙餅的時間（都是6分鐘）。但是在烙三個餅時出現了分歧，有的說要12分鐘（先烙兩個，再烙一個），有的說只要9分鐘（先烙1號餅和3號餅的正面，再烙2號餅和3號餅的反面，最后烙2號餅正面和1號餅的反面），然后通過演示和比較，學生認識到后者更優化、更節約時間，教師也只引導啟發：烙餅鍋一次可烙兩個，若只烙一個就浪費時間，要盡量每次烙兩個。

進而討論烙4個、5個…10個，學生始終停留在“盡量每次烙兩個就不浪費時間” 上進行探究，雖然能找到烙的方法：如果是雙數個餅就兩個兩個烙，如果是單數個餅就先兩個兩個烙，最后三個按前面優化的方法烙；也發現了烙餅的次數等于（兩個以上）餅的個數。雖然這樣的數學問題看似能解決了，那么，為什么烙（兩個以上）餅的次數總等于餅的個數呢？

打電話問題：“打電話” 問題的教學重點是為了找到規律嗎？

教學“打電話”一課時，教師先讓學生圍繞著“分組方案”進行不同的設計，在對學生提出的“分成3組、4組和5組”的觀點進行逐一否定后，教師引導：要想時間最少，那么應讓每個通知到的人都不空閑（參與打電話）。于是在圖直觀演示這種打電話方式的基礎上重點總結出了下面的規律，見下表。

在接下去的時間里，教師針對表格進行大量的分析，甚至總結了計算公式：第n分鐘新接到通知人數=2n-1；n分鐘所有接到通知的隊員和老師總人數=2n；n分鐘所有接到通知的隊員數=2n-1。然后根據這樣的規律和公式，解決打電話的問題就簡單了。

試問：“打電話” 問題的教學重點和目的是為了找到這樣的規律嗎？

找次品問題：“找次品”就意味著每次對物品盡可能平均地分成三份嗎？

在“找次品”教學中，例1用天平通過對5件物品中1件次品的尋找，知道尋找策略的多樣性，然后通過例2對9件物品中1件次品的尋找，明白要把待測物品平均分成三份，進而發展到對不是3的倍數個數待測物品的研究。讓學生發現找次品的最佳策略：盡可能地把待測物品平均分成三份（如27—9、9、9）；不能平均分的每份相差也最多是1個（如8—3、3、2），這樣找到其中1件次品的稱量次數最少，見下表。

因為把待測物品盡可能平均分成三份，進而教師又引導學生有這樣的發現：

當待測物品總數是：

2～3個（31以下）——1次

4～9個（31以上～32）——2次

10～27個（32以上～33）——3次

……以此類推。

那么，為什么要把待測物品這樣分呢？“找次品”就意味著每次對物品盡可能平均地分成三份嗎？

三、數學優化問題教學要重視引導學生對優化策略的深層探究

（一）數學優化問題教學，應重視深層問題的優化認識

數學優化問題的教學，不應只停留在對知識本身表面的認識，應當認識到這樣的優化可以延伸到更深層次的問題。比如在“烙餅問題”教學中，教師不僅要解決烙3個、4個、5個…10個甚至更多餅烙的優化方法，而且要認識到為什么烙餅（兩個以上）的次數總等于餅的個數，教師不妨可以用這樣的圖來表示——

3個餅： 于是，n個餅就有：

（注：線上的表示烙第一次，線下的表示烙第二次）

可見，按照這樣的烙法，把第一個餅的第二面空著，總存在這樣一個餅——它的第二面與第一個餅的第二面可以同時烙最后一次，也就意味著有幾個餅（不少于兩個）就可以烙幾次。因此，如果一次能烙兩個餅，每個餅烙兩面，始終有這樣的優化方法存在，因為鍋子可以同時烙兩個餅而每個餅正好都是兩面烙。但是，如果鍋子一次能烙三個餅或四個餅，情況就不一樣了。那么每次可以烙三個餅或四個餅，優化的方法與之前又有什么聯系呢？

一次烙三個餅：

一次烙四個餅：

可見，一次烙三個餅，烙餅的個數必須是3的倍數才能達到最優化；一次烙四個餅只要保證餅的個數是大于2的偶數就能達到最優化。

以知識為載體，需要去挖掘更多方面的、更深層次的認識，才能使同一類優化的思維方式、思想方法和優化意識得到形成和發展。

（二）數學優化問題教學，應關注優化結果的形成過程

教學數學優化問題的關鍵是讓學生在思維方式、思想方法和優化意識上得到發展，因此教師的優化問題教學不僅是通過優化過程尋找優化的方法和策略，更應關注通過優化策略的尋找，體驗優化的過程。

在“打電話”教學中，教師對于學生提出的分組（3組、4組或5組等）通知方法的否定，不應建立在“還有其他方法使通知時間更少”，而要讓學生充分參與探究體驗的過程，在參與過程中自主領悟“策略不夠優化”的原因——有的隊員沒有參與打電話，因此，要使打電話通知的策略最優化，必須將接到通知的人都發動起來。基于這樣的認識，讓學生主動探究“第1分鐘、第2分鐘、第3分鐘…第7分鐘”接到通知的人數，教師并不一定要學生牢記有一個規律或公式可以解決這個問題，而要讓學生體驗參與過程，從中獲得感悟、啟發和意識——人人參與總能使下一分鐘通知到的人數在前一分鐘基礎上增加1倍，同時在遇到這類情況時，學生解決起來比較快捷。

比如，“發作業本”的情況就比較類似，全班有48名學生，教師如何在最短的時間里把作業本下發到每個學生呢？不妨采用這樣的辦法讓盡可能多的學生參與，見下圖。

其中加“。”的表示留給自己的本子數。

可以發現，這樣的優化方法只要四五次就能把本子發給每個學生。而實際操作時，教師不可能一邊數一邊發，這時，教師就可以盡可能掐出一半本子分給別人就可以了。如果學生能在活動中體驗到這樣的思維方式和意識，那么優化問題教學效果就能在教材知識點以外的其他方面得以施展了。

（三）數學優化問題教學，應突出優化策略背后的原因分析

很多時候，教師和學生往往都只關心“可以怎樣優化”，而不去思考“為什么可以這樣優化”“優化的根本原因是什么”。事實上，只有把握優化策略背后的根本原因，才能使這樣的優化策略研究得更透徹、掌握得更牢固、運用得更廣泛。

在“找次品”教學中，到底為什么要把待測物品盡量平均地分成三份呢？——作為教師，要HknkuNcM2n7vB9bOOiMIemDBRCwPtDmQDXs4eoq2oCs=把學生引導到這樣的領域去思考，才能有最根本的收獲。實際上，“把待測物品盡可能平均分成三份”——這是由天平決定的，因為天平有兩個托盤，一次能同時比較兩份，于是教師就可以去判斷第三份（再加上“次品是唯一的”），這是“物盡所用”而不是“人盡所能”。同時次品在哪一份中又是不明確的，為了公平起見應當三份盡可能分得平均。

豐富的數學知識，要為學生思維方式的發生、發展服務。數學優化問題作為良好的載體平臺，教學中教師應當引導學生重視深層問題的優化認識，關注優化策略（結果）的形成過程，突出優化策略背后的原因分析。“優化”是一種思想、一種意識，這種思想、意識的價值不僅僅體現在解決現在的數學問題上，更體現在一個人以后的學習、工作和生活中。

（浙江省嘉興市海鹽縣石泉小學 314307）