角度 厚度 尺度

教師要想提高課堂教學(xué)的有效性，必須要把握三個(gè)度，即角度、厚度及尺度。筆者以“負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)”為例，來談具體的做法和教學(xué)實(shí)踐。

一、基于真實(shí)起點(diǎn)，找準(zhǔn)教學(xué)切入的角度

教學(xué)切入的角度直接影響課堂效率。尋找合適的切入角度必須充分考慮學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容已有的認(rèn)知水平和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，順學(xué)而導(dǎo)方能節(jié)省時(shí)間提高效率。就負(fù)數(shù)而言，盡管從教材的編排來看是一堂起始課，但事實(shí)上學(xué)生在生活中已經(jīng)積累了大量相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)。從課前的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，全班52人中有35位學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了負(fù)號(hào)，能正確讀寫負(fù)數(shù)的約占67%；其中有28人能結(jié)合生活情境說出負(fù)數(shù)所表示的意義，約占54%。基于這樣的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，筆者把負(fù)數(shù)的讀寫作為本堂課教學(xué)的切入點(diǎn)。

（一）以點(diǎn)帶面，認(rèn)識(shí)負(fù)號(hào)

【片段一】

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們一起來認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。課前老師了解到很多同學(xué)都在生活中看到過負(fù)數(shù)，誰(shuí)來說一說？

生：電梯里地下車庫(kù)用“負(fù)-”表示，這是個(gè)負(fù)數(shù)。

生：電視里天氣預(yù)報(bào)零下5℃寫成“-5℃”，這也是負(fù)數(shù)。

生：我知道如果做減法不夠減了，可以用負(fù)數(shù)表示，比如2減去4等于負(fù)2。

……

師：電梯里地下車庫(kù)表示為“負(fù)-”，這個(gè)數(shù)會(huì)寫嗎？（生嘗試寫負(fù)數(shù)）

師：一個(gè)數(shù)前面寫上負(fù)號(hào)，這個(gè)數(shù)就是負(fù)數(shù)。負(fù)號(hào)的寫法和減號(hào)一樣，但讀法不同。

從上述教學(xué)實(shí)踐中可以看到，學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)已經(jīng)積累了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)。由于負(fù)數(shù)在生活中比較常見，大部分學(xué)生已經(jīng)看到過負(fù)數(shù)的表示方式，因此負(fù)數(shù)的讀寫對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說不成問題。這樣的切入角度簡(jiǎn)潔、高效，遵循了學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。

（二） 聯(lián)系溝通，擴(kuò)充數(shù)系

【片段二】

師：請(qǐng)你找一找下面各數(shù)中哪些是負(fù)數(shù)？

-7 2.5 -5.2 - 41

生：-7、-5.2、-。

師：余下的數(shù)我們?cè)缇驼J(rèn)識(shí)了，這些都是正數(shù)。正號(hào)“+”既可寫上也可以省略不寫。想一想，除了這里看到的數(shù)，還有其他的正數(shù)和負(fù)數(shù)嗎？

生：還有很多，寫都寫不完。

師：對(duì)，正數(shù)和負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。

整理正數(shù)：2.5（+2.5） （+） 41（+41） ……

整理負(fù)數(shù)：-7 -5.2 - ……

這一教學(xué)環(huán)節(jié)的實(shí)施，一方面鞏固并豐富學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，另一方面將負(fù)數(shù)及時(shí)納入學(xué)生原有的認(rèn)知體系，從而在學(xué)生頭腦中構(gòu)建新的關(guān)于數(shù)的認(rèn)知體系。認(rèn)識(shí)正數(shù)無需用太多筆墨，學(xué)生以前認(rèn)識(shí)的數(shù)絕大多數(shù)都是正數(shù)（除0外），只要簡(jiǎn)單溝通即可。

二、延長(zhǎng)過程體驗(yàn)，夯實(shí)知識(shí)理解的厚度

數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)需要實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的逐步提煉和概括。如果建構(gòu)過程過于簡(jiǎn)化往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解不夠深刻，成為“壓縮餅干”。對(duì)于負(fù)數(shù)來說，盡管學(xué)生在生活中已有了一定的認(rèn)識(shí)，但這只是形式上的、膚淺的、感性的。顯然，僅僅停留在這一層面上是不夠的。教師需要組織有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的心理過程，豐富感知、深化體驗(yàn)，促進(jìn)對(duì)負(fù)數(shù)意義的本質(zhì)理解。延長(zhǎng)過程體驗(yàn)是感悟數(shù)學(xué)思想和積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的必要前提。

（一）概念建構(gòu)——豐富感知積累

【片段三】

師：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了正數(shù)和負(fù)數(shù)，兩者之間有什么關(guān)系呢？能不能舉例來說一說。

生：我覺得正數(shù)和負(fù)數(shù)的意思是相對(duì)的，比如溫度計(jì)上負(fù)數(shù)表示零下幾度，正數(shù)表示零上幾度。

生：我覺得是相反的，電梯里“-1”是地下一層，“1”是地上一層。

……

師：老師也找了一些材料，請(qǐng)大家分析一下。

（1）欣欣服裝店的財(cái)務(wù)報(bào)表。

日期收入/支出（元）

11月16日+2540

11月30日-5600

（2）兩只股票的漲跌情況（單位：元）。

（3）媽媽的銀行卡透支情況。

日期存入支取余額操作員

20090812

20091106 2000.00

-2000.00

（4）根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，明天湖州天氣情況（如下圖）

板書整理：

正數(shù) 收入 上漲 多余 零上

負(fù)數(shù) 支出 下跌 虧欠 零下

師：像這樣意思相反的一對(duì)量，叫作兩種“相反意義的量”。

數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象和數(shù)學(xué)概念的理解需要豐富的感知積累作基礎(chǔ)。教學(xué)中，教師首先請(qǐng)學(xué)生自己舉例說一說正負(fù)數(shù)之間的關(guān)系，借助學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步感悟負(fù)數(shù)的意義。但學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)是有限的，教師需要繼續(xù)提供更豐富的并具有結(jié)構(gòu)性的感知素材，延長(zhǎng)體驗(yàn)過程。這里教師所呈現(xiàn)的幾組材料都貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，是他們所熟悉的材料，能夠引起他們的心理共鳴并激活生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系。同時(shí)材料的結(jié)構(gòu)性呈現(xiàn)有利于學(xué)生在比較和辨析中認(rèn)識(shí)正負(fù)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步理解負(fù)數(shù)的意義。在聯(lián)系、比較、抽象、概括等思維活動(dòng)中，學(xué)生逐步把生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）概念運(yùn)用——剖析思考過程

【片段四】

練習(xí)：在括號(hào)里填上合適的數(shù)。

（1）太湖今年5月份的水位高于警戒線1.6米，記作 “+1.6”米； 11月份低于警戒線2.2米，應(yīng)記作（ ）米。

生：-2.2。

師：你是怎么想的？

生：因?yàn)楦哂诰渚€用正數(shù)表示，低于警戒線正好相反，所以要用負(fù)數(shù)表示。

（2）在某一場(chǎng)足球賽中，德國(guó)隊(duì)上半場(chǎng)丟了兩球，記作 -2 分；下半場(chǎng)他們加強(qiáng)進(jìn)攻連進(jìn)三球，記作（ ）分。

生：+3。

師：說說你的想法。

生：丟球用負(fù)數(shù)表示，進(jìn)球就要用正數(shù)表示，因?yàn)橐馑际窍喾吹摹?/p>

（3）小軍和小華從大樹的位置出發(fā)向不同的方向走去，小軍現(xiàn)在的位置記作+200 米，小華的位置記作-200 米。請(qǐng)你猜一猜兩人的行進(jìn)方向。

板書整理：

小軍 南 東 北 西 西北 ……

小華 北 西 南 東 東南 ……

師：這么多答案，說明他們的行進(jìn)方向無法確定，但可以確定的是什么？

生：他們的方向肯定是相反的。

師：為什么？

生：因?yàn)樗麄儸F(xiàn)在的位置分別用負(fù)數(shù)和正數(shù)表示的，表示相反意義的量，所以行進(jìn)方向一定是相反的。

在概念教學(xué)中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，形成概念，又要讓學(xué)生由抽象到具體，運(yùn)用概念。在概念的運(yùn)用過程中，不能只滿足于學(xué)生會(huì)表示，還要進(jìn)一步剖析他們的思考過程。從上述片段中教師不斷地引導(dǎo)學(xué)生說一說“你是怎么想的”，目的就是讓學(xué)生能夠從“相反意義的量”這個(gè)角度展開思考，促進(jìn)概念的內(nèi)化。必須指出的是，學(xué)生在闡述思考過程時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生“用自己的話說一說”。過于強(qiáng)調(diào)使用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行規(guī)范化表達(dá)反而會(huì)走進(jìn)“模式化”的誤區(qū)，淡化意義的實(shí)質(zhì)理解。

（三）概念深化——借助數(shù)形結(jié)合

【片段五】

師：小紅還站在大樹底下，她現(xiàn)在的位置你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)表示比較合適？

生：用“0”表示，因?yàn)樾〖t沒動(dòng)，還站在大樹底下。

師：那么“0”算正數(shù)還是負(fù)數(shù)呢？

生：我覺得既可以算正數(shù)也可以算負(fù)數(shù)。

生：我覺得0不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。因?yàn)樾∪A向東走，小軍向西走，方向相反的時(shí)候用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示，小紅站著沒動(dòng)，不知道向東還是向西，所以既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。

師：說得很好。正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量，從圖上看，0表示小紅站在原地，沒有出現(xiàn)相反意義的量，所以數(shù)學(xué)上規(guī)定0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。這樣，可以把我們所認(rèn)識(shí)的數(shù)分為幾類？

生：有正數(shù)、0和負(fù)數(shù)。

負(fù)數(shù)的出現(xiàn)豐富了“0”的內(nèi)涵。在學(xué)生原有的知識(shí)體系中“0”表示沒有，是最小的數(shù)。然而負(fù)數(shù)的出現(xiàn)使“0”成為正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)（原點(diǎn)），即“0”既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。從邏輯上看，確定原點(diǎn)是構(gòu)成相反意義兩個(gè)量的前提條件。但從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理看，“0”的抽象性高于負(fù)數(shù)，是學(xué)生理解的難點(diǎn)。體驗(yàn)“0”的意義對(duì)于深化概念理解有著重要意義。教學(xué)中采用教材上例3的大樹圖，借助數(shù)形結(jié)合形象地解釋了“0”作為正、負(fù)數(shù)分界點(diǎn)的意義，有效地突破了難點(diǎn)。更重要的是這幅圖為學(xué)生呈現(xiàn)了數(shù)軸的雛形，構(gòu)建了完整的有理數(shù)系，為后繼學(xué)習(xí)作了有益的鋪墊。

三、關(guān)注學(xué)生差異，把握思維拓展的尺度

數(shù)學(xué)課堂的拓展與延伸同樣是提升課堂效度非常重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。有效的教學(xué)拓展能使本堂課的教學(xué)內(nèi)容得到升華和總結(jié)，同時(shí)又能使學(xué)生綻放思維的火花，培育積極情感，并為后繼學(xué)習(xí)做好滲透、打好基礎(chǔ)。但是，拓展需要把握好尺度。就筆者的觀察，課堂拓展部分太難、太偏的現(xiàn)象普遍存在，造成了學(xué)生望而生畏，其效果適得其反。好的課堂練習(xí)設(shè)計(jì)必然是同時(shí)兼顧知識(shí)技能的鞏固和思維能力的發(fā)展兩個(gè)方面。那么，如何在兩者之間找到一個(gè)契合點(diǎn)，更大程度上關(guān)注學(xué)生之間的差異性呢？

【片段六】

1.比賽用的羽毛球規(guī)定了標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，4只羽毛球稱重，并和標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量比較后記錄為：

①號(hào)球 -0.5克 ②號(hào)球 0克

③號(hào)球 +0.35克 ④號(hào)球-0.2克

師：這里的“-0.5”“+0.35”分別表示什么意思？

生：“-0.5”表示比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量輕0.5克，“+0.35”表示比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量重0.35克。

師：②號(hào)球真的重0克嗎？

生：不是，這個(gè)“0”表示②號(hào)球和標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相差0克。

師：也就是說②號(hào)球的質(zhì)量正好與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相等。這些羽毛球中哪個(gè)最重，哪個(gè)最輕？

生：我覺得③號(hào)球最重，④號(hào)球最輕。

師：有不同意見嗎？

生：我也認(rèn)為③號(hào)球最重，但我認(rèn)為最輕的應(yīng)該是①號(hào)球。

師：說說理由。

生：因?yàn)棰偬?hào)球是-0.5克，也就是比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量輕0.5克，而④號(hào)球是-0.2克，只比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量輕了0.2克，所以我覺得①號(hào)球更輕。

師：是嗎？我們畫圖看一看（板書，如下圖）。

師：從圖上我們可以比較明顯地看到①號(hào)球比④號(hào)球更輕。

2.通常，我們規(guī)定海平面的海拔高度為0米。

師：珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地的海拔高度應(yīng)該怎樣表示？

生：珠穆朗瑪峰海拔高度為+8843.43米，因?yàn)樗群Ｆ矫娓?843.43米。吐魯番盆地的海拔高度應(yīng)為-155米，它比海平面低155米，正好相反。

師：圖瓦盧是南太平洋上一個(gè)非常小的島國(guó)，該國(guó)平均海拔高度為+1.2米，表示什么意思？

生：“+1.2米”表示這個(gè)國(guó)家的平均海拔高度比海平面高1.2米。

師：如果海平面上升2米，以上這些海拔高度會(huì)發(fā)生什么變化？

生：珠穆朗瑪峰海拔高度變?yōu)?8841.43米，因?yàn)楹Ｆ矫嫔仙耍０胃叨瓤s短了2米。而吐魯番盆地的海拔高度變?yōu)?157米，它離海平面更遠(yuǎn)了。

生：圖瓦盧的平均海拔高度會(huì)變成-0.8米。

師：為什么變成用負(fù)數(shù)來表示了呢？

生：本來它的平均海拔高度在海平面以上，用正數(shù)表示，現(xiàn)在海水上升2米，它已經(jīng)在海平面以下了，2-1.2=0.8（米），所以用“-0.8米”表示。

師：你們認(rèn)為地球上海平面上升這種情況會(huì)不會(huì)出現(xiàn)？

生：會(huì)的，如果全球氣候變暖，兩極冰川融化，海平面就會(huì)上升。

師：看來保護(hù)環(huán)境、低碳生活真的非常重要。

上述兩道習(xí)題的設(shè)計(jì)都力圖體現(xiàn)問題的拓展性，即在同一個(gè)問題情境下逐步提升思維要求，滿足不同層次學(xué)生的需求。如第一題中，第一層次是面向全體學(xué)生的基礎(chǔ)題，結(jié)合具體情境解釋正負(fù)數(shù)和0的意義；第二層次則體現(xiàn)了一定的思考性，學(xué)生的思考是基于對(duì)負(fù)數(shù)意義的理解，而教師在此基礎(chǔ)上借助數(shù)形結(jié)合進(jìn)一步使學(xué)生更直觀地比較出兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小。第二題是在課本習(xí)題（教材第4頁(yè)“做一做”第二題）的基礎(chǔ)上適當(dāng)作了改動(dòng)，增加了思維要求。如“如果海平面上升2米，以上這些海拔高度會(huì)發(fā)生什么變化” ，這里既可以作數(shù)學(xué)思考（感悟絕對(duì)值的意義），也可以作一些人文思考（環(huán)保意識(shí)的滲透）。可見，數(shù)學(xué)課堂的拓展應(yīng)立足于教學(xué)內(nèi)容，把握好尺度，既有利于課時(shí)目標(biāo)的達(dá)成，又能適度發(fā)展學(xué)生的思維能力。

總之，筆者認(rèn)為，有效課堂的核心價(jià)值在某種層面可體現(xiàn)為：關(guān)注學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和學(xué)習(xí)狀態(tài)；關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程性體驗(yàn)；關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效發(fā)展。盡管每堂課的教學(xué)內(nèi)容不同，但只要在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施中合理把握角度、厚度和尺度，必將有利于提升數(shù)學(xué)課堂的效度。

（浙江省湖州市鳳凰小學(xué) 313100）