引領自主探索，發展數學思考能力

引領自主探索，發展數學思考能力

【教學內容】蘇教版數學五年級下冊第三單元“公倍數和公因數”第26～27頁的例3、例4、“練一練”練習五的第1～5題。

【教學目標】

1.使學生在具體的操作活動中，認識公因數和最大公因數，會在集合圖中分別表示兩個數的因數和它們的公因數。

2.使學生學會用列舉的方法找到10以內兩個數的公因數和最大公因數，并能在解決問題的過程中主動探索簡捷的方法，進行有條理的思考。

3.使學生在自主探索與合作交流的過程中，進一步發展與同伴進行合作交流的意識和能力，獲得成功的體驗。

【教學過程】

一、復習舊知，談話導入

談話：前一課我們用“猜測—驗證—歸納”的方式學習了公倍數和最小公倍數，今天我們將用這種方法學習公因數和最大公因數。（板書課題：公因數和最大公因數）

（設計意圖：前一節課學生已經學習了“公倍數和最小公倍數”，今天學習的內容與前一課學習的相類似，而學習的方法也與上一課相似，所以教師用簡單的一句話開門見山導入新課，不但揭示了課題，而且對今天學習知識的方法進行了策略引領。）

二、引領探索，發展思維

（一）教學例3

1.呈現例3，提出猜想。

談話：現在我們一起來看例3，先認真讀一讀（生自由讀題），再在小組中交流，說說這道題是什么意思？

談話：根據上一課學習的方法，我們可以先猜一猜哪種紙片正好鋪滿這個長方形，不過我們一定要養成一個好的習慣，要根據一定的依據猜測。誰先來猜一猜？

（設計意圖：猜想是對研究的對象或問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯想、類比、歸納等，依據已有的材料和知識作出符合一定的經驗與事實的推測性想象的思維方法。所以教學時教師有意讓學生猜一猜，這有利于學生數學思考能力的發展，特別是教師“不過我們一定要養成一個好的習慣，要根據一定的依據猜測”的話語，是對學生進行正確思考的引領。）

生猜測后，小結：看來大家都認為邊長6厘米的正方形紙片能鋪滿這個長方形，現在請大家用信封里的學具來驗證我們的猜測是不是正確的。

2.引領操作，驗證猜想。

學生操作，教師巡視，待學生操作完畢。

提問：通過剛才的操作，你發現哪一種正方形紙片能正好鋪滿這個長方形，與開始的猜測一樣？

待學生回答后，談話：剛才大家通過驗證，得出了結論，邊長6厘米的正方形紙片正好鋪滿這個長方形。

（設計意圖：學生的猜想是否正確，這是學生非常關心的問題，所以在學生猜想后，讓他們運用操作的方法去驗證，不但可以滿足學生的學習欲望，而且提升了學生的思維品質，因為學生的操作總是在視覺與觸覺協同感知事物的同時，悄悄地展開了思維。）

提問：操作后，你們有沒有再想一想，為什么邊長6厘米的正方形紙片正好鋪滿這個長方形，而邊長是4厘米的正方形紙片不能正好鋪滿這個長方形呢？我們能否列出一個算式來解釋呢？誰來說說？

（學生可能回答：邊長6厘米的正方形紙片正好鋪滿這個長方形，可以列出這樣的算式：12÷6=2，18÷6=3）

提問：這里求出的2和3分別表示什么意思？用邊長6厘米的正方形鋪長方形正好可以鋪多少個？

（學生可能回答：用邊長6厘米的正方形鋪長方形，沿著寬邊鋪，正好可以鋪2行，沿著長邊鋪可以鋪3列，所以用邊長6厘米的正方形鋪長方形正好可以鋪6個）

提問：從剛才的算式中，你能用“因數”這個詞來說明正好鋪滿這個長方形的道理嗎？

引導學生回答：從這兩個算式中可以知道，6既是12的因數，又是18的因數，所以能正好鋪滿。

提問：誰能用剛才的方法，列出算式，來說明邊長是4厘米的正方形為什么不能正好鋪滿這個長方形的理由？

引導學生回答：因為12÷4=3，18÷4=4……2，所以用邊長4厘米的正方形鋪長方形，正好可以鋪3行，如果鋪4列，長邊還余下2厘米。

提問：誰能用“因數”這個詞來說明不能正好鋪滿這個長方形的道理？

引導學生回答：從這兩個算式中可以知道，4是12的因數，但不是18的因數，所以不能正好鋪滿。

接著請學生一起說一說。

（設計意圖：教師設計了幾個較有價值的引領性問題：“你們有沒有再想一想，為什么邊長6厘米的正方形紙片正好鋪滿這個長方形，而邊長是4厘米的正方形紙片不能正好鋪滿這個長方形呢？我們能否列出一個算式來解釋呢”“你能用‘因數’這個詞來說明正好鋪滿這個長方形的道理嗎”……這些問題均恰到好處地引領學生朝著今天新學習的知識“公因數”邁進，這里一層一層環環相扣，為學生理解知識作了思維支撐。）

3.深入探究，歸納意義。

提問：從剛才的學習中，你們有沒有發現，能鋪滿這個長方形的正方形紙片的邊長有什么講究？

談話：現在我們分小組來研究，還有哪些邊長是整厘米數的正方形紙片也能正好鋪滿這個長方形？（PPT呈現問題）

談話：如果你覺得研究這個問題還有一點小困難，可以看看屏幕中老師的提示（提示：我們可以用列舉的方法，從邊長是1厘米的正方形紙片開始嘗試）。

待小組研究完畢。

提問：哪個小組先來說說還有哪些邊長是整厘米數的正方形紙片也能正好鋪滿這個長方形？

引導學生回答：還有邊長是1厘米、2厘米、3厘米的正方形紙片能鋪滿這個長方形。

提問：如果用上“因數”這個詞，你認為還可以怎樣概括？

引導學生說出：只要看這個正方形紙片的邊長是不是既是12的因數，又是18的因數就可以了。

提問：從剛才的學習中，我們已經知道哪些數既是12的因數，又是18的因數？

小結：這里1、2、3、6既是12的因數，又是18的因數，我們就說1、2、3、6是12和18的公因數。（PPT呈現）

引導學生一起讀一遍。

提問：誰來說一說，4是12和18的公因數嗎？為什么？

談話：通過剛才的學習，知道了什么是幾個數的公因數，現在我們用學到的知識來解決一個問題。

（設計意圖：教學中，在解決“還有哪些邊長是整厘米數的正方形紙片也能正好鋪滿這個長方形”的問題時，教師運用小組合作研究的形式進行，有利于不同思維層次學生的需要，這里“如果你覺得研究這個問題還有一點小困難，可以看看屏幕中老師的提示”的引領，滿足了不同思維層次學生的需要，因為當學生在探索而思維受阻時，可以通過教師的提示解決問題。）

（二）教學例4

1.呈現例4，合作探究。

提問：先獨立思考，想一想，怎樣來解決第一個問題？再以小組為單位，研究一下你們能想到幾種方法。

待學生討論完畢。

提問：現在我們一起來交流一下，你們想怎樣來解決第一個問題？

（學生可能回答：分別找出8和12的因數，再找出它們的公因數）

談話：這是我們找兩個數的公因數經常用的一種方法。

提問：現在我們一起來看，8的因數有哪些？12的因數有哪些？8和12的公xFDK823mCH4s6+iuuB01o4GyCclGZ7eHAx0rQkAcsUU=因數有哪些？（PPT同步呈現）

提問：哪個小組還想到另外的方法？

（學生可能回答：先寫出8的因數，再看看8的因數中哪些是12的因數）

談話：這也是一種找兩個數的公因數的方法。我們一起來看8的因數有哪些？再看看8的因數中，哪些數也是12的因數？（PPT呈現解答過程）

小結：我們要想求8和12的公因數，可以分別寫出兩個數的因數，再找一找它們的公因數，也可以先找出8的因數，再從8的因數中找出12的因數。

2.比較策略，完善意義。

提問：現在我們來比較一下，這兩種方法有什么相同和不同的地方，平時我們一般用怎樣的方法解決問題？

提問：剛才大家已經找到了8和12的公因數，我們來看看8和12的公因數中哪個數最大。

小結：8和12的公因數中最大的是4，所以8和12的最大公因數是4。（PPT呈現，學生讀一讀）

提問：通過剛才的學習，誰能完整地說一說什么是兩個數的公因數？什么是兩個數的最大公因數？

談話：8和12的公因數還可以用集合圖來表示（呈現空白集合圖），你們會自己填寫嗎？我們先來看兩個集合相交的部分，誰來說說相交的部分表示什么？我們一般情況下先寫什么比較好？現在請大家將你剛才求出的8和12的公因數填在集合圈中。（課前教師提供空白集合圈）

（待學生填寫完畢，教師將集合圈畫在黑板上，與學生自己填寫的比較）

（三）完成練一練

1.呈現練一練。

提問：誰來說說題目的意思？

2.學生獨立完成，完成后評析。

（設計意圖：例4有兩個方面的功能，一是通過例題的學習，讓學生運用對公因數的理解，自己解決求兩個數的最大公因數的問題，另一方面通過學習，讓學生理解什么是兩個數的最大公因數。所以在教學時，教師根據學生的認知水平，分層進行。首先小組合作用不同的方法完成找兩個數的公因數，既體現解決問題策略的多樣性，又展現了學生不同思維方法解決問題的個性，因為兩種求公因數的方法各有其優越性，所以教師沒有強調用什么方法找兩個數的公因數，只是用問題的形式，提示學生一般找兩個數的公因數的方法。）

三、分層練習，理解意義

（一）完成練習五的第1題

（學生獨立完成，完成后集體校對）

提問：你是怎么知道18和30的公因數是1、2、3、6的？

引導學生回答：因為畫“△”的都是18的因數，畫“○”的都是30的因數，在1、2、3、6中既畫了“△”又畫了“○”，所以1、2、3、6既是18的因數又是30的因數，也就是18和30的公因數。

（二）完成練習五的第2題

（學生獨立完成，完成后集體校對）

提問：誰來說說你是怎么知道8和10的公因數是1和2的？你又怎么知道8和20的公因數是1、2、4的？又是怎么知道10和20的公因數是1、2、5、10的？

（三）完成練習五的第3題

（學生獨立完成，完成后集體校對）

（四）完成練習五的第4題

啟發學生與教師一起逐一完成。

（設計意圖：這里的練習，教師完全按照教材提供的材料展開，只是在解決問題時，分出層次，以讓智力水平不同的學生都能得到發展。特別是練習五的第1題，在學生說出結果時，教師通過“你是怎么知道18和30的公因數是1、2、3、6的”這一問題，又一次為學生進一步理解公因數的意義作了引領。）

四、全課小結

提問：今天這節課我們學習了什么？你能用自己的語言說說什么是兩個數的公因數，什么是兩個數的最大公因數嗎？

（江蘇省蘇州工業園區新城花園小學 215021）