強化幾何直觀，積累解決問題經驗

在小學階段，具有加法結構的實際問題有三類：變化題、合并題和比較題。其中，比較題是學生學習的難點。作為比較題中的一種，“求比一個數多（少）幾”的實際問題是以“求一個數比另一個數多（少）多少”為基礎的：在學習活動上，相差關系的問題可以通過“擺一擺”“排一排”的操作得到解決；在數學概念上，“比一個數多幾，相當于這個數添上幾”“比一個數少幾，相當于這個數去掉幾”。由于學生已經具有這些數學概念和數學活動經驗，蘇教版教材二年級下冊讓學生擺擺、算算，從直觀形象看出結果到列式計算，抽象地用數學計算解決問題。

在實際教學中，學生通過擺學具看出結果并不難，而列出算式、理解算式的意義與數量關系很不容易。這是因為從學具到算式的跨度比較大，需要把“求比一個數多幾”轉化成“兩部分合并”，把“求一個數少幾”轉化成“總數里去掉一些”，才能聯系已有的加、減法概念列出算式，并理解和解釋算式的意義。

因此，本課教學的重點就在于幫助學生實現從直觀的學具操作到抽象的算法建構之間的跨越。怎樣幫助學生順利實現這個跨越呢？筆者跳出了為解題而教學的層面，借助幾何直觀，立足于解決問題經驗的積累展開了實踐與思考。

【教學實踐】

一、觀察感知，激活經驗

師（出示教材主題圖）：從下圖中你能說說小青比小東多擺幾個嗎？

小東：★★★★

小青：★★★★★★★

生：小青比小東多了3個，用小青擺的7個減去小東擺的4個，就得到了小青比小東多的3個。

師：不計算，能不能一眼看出小青比小東多擺幾個？

生：前面4個是每個畫片對齊的，后面3個沒有和上面的對齊，所以多3個。（動畫演示）

二、自主探索，建構算法

1.發現問題和提出問題。

師（出示例3主題圖中小英和小華的信息）：從圖上你能知道什么數學信息？

生：小英擺了11個畫片，小華比小英多擺了3個。

師：根據這兩個條件，可以提出什么問題？

生：小華擺了多少個？

師：你能把條件和問題連在一起完整地說一說嗎？

2.借助操作，解決問題。

（1）動手操作。你打算怎樣解決這個問題？看著大屏幕，可以動手用花片擺一擺，也可以不動手，在腦子里想一想該怎樣擺。需要用花片的同學，每人從袋中取出同一種顏色的花片擺一擺。咱們比一比哪個小朋友擺得整齊，讓別人能夠一眼看出小華比小英多擺了3個。

生獨立操作后匯報交流。

生：小英擺了11個。（課件依次出示11個花片）

生：小華擺了14個。

師：14個人是怎么擺出來的呢？

生：先擺11個，然后再擺3個。

師（課件與講解同步）：在第一排下面一個對著一個擺，先擺出和小英的花片同樣多的部分（出示11個花片），然后接著擺3個（依次出示3個花片）。這樣，第二排的花片就比第一排多3個。通過擺一擺可以發現，小華要擺多少個？

生（齊答）：14個。

（2）表象操作。你能再說一遍自己是怎樣擺的嗎？同桌互相說一說自己的擺法。一位同學說，另一位同學在腦子里想：小英、小華分別是怎么擺的？

（3）算法抽象。

師：如果不擺花片，你能用算式表示出小華要擺多少個嗎？

生：11+3=14（個）。（師板書）

師：你是怎樣想的？

生：因為小華比小英多3個。所以求小華要擺多少個就是求比11多3的數是多少，要把11和3合起來，用加法計算。

3.試一試：變化條件和問題。

師（課件出示例3有關小平信息的情境圖）：從屏幕上你又發現了什么？

生：小平比小英少3個，要求小平擺了多少個？

師：根據所給的條件，不動手，你能把小平擺花片的情況在腦子里擺出來嗎？

師（呈現擺法）：和你想的一樣嗎？

師：誰來說說這里為什么要空3個呢？

生：因為小平比小英少擺了3個。

師：你能用算式表示出小平要擺多少嗎？

學生獨立嘗試列式，并板演：11-3=8（個）。

師（追問）：為什么要用減法算？

生：因為小平比小英少擺了3個。小平要擺多少個，是求比11少3的數，要從11里面去掉3，所以用減法算。

4.對比、反思。

師：剛才我們幫助小華和小平算出了他們各擺了多少個花片。這兩道題有什么不同的地方？

生：小華擺的是用加法，小平擺的是用減法。

師：為什么解決小華的問題用加法，解決小平的問題用減法？

師揭題并板書：求比一個數多（少）幾的實際問題。

三、鞏固拓展，積累經驗

1.擺一擺。

課件出示：

（1）第一行擺紅花片6個，第二行擺黃花片，黃花片比紅花片少2個。

學生動手操作后匯報。

（2）第一行擺紅花片6個。

生：我有問題，第二行黃花片擺幾個？

師：猜猜看，這次黃花片可能怎樣擺呢？把你的想法擺出來，讓大家猜一猜你是怎樣擺的。

學生操作后說擺法，其余同學猜擺了幾個。

2.完成“想想做做”第1題，認識直條圖。

（1）由情境圖到直條圖。

師（出示教材情境圖）：誰看懂了圖的意思？你能自己列式解答嗎？

學生獨立完成后交流：為什么要用32加6？

生：劉芳比李寧多走6格。

師：如果用畫圖來表示兩個小朋友走的格數，你想怎樣畫呢？你有什么感覺？

生：很麻煩。

師：一個一個畫起來很麻煩，我們可以把這些格子連起來，用一個直條表示李寧走了32格。

啟發思考：怎么表示劉芳走的格數？

追問：哪一部分表示劉芳比李寧多走的6格？（請學生指）

完善線段圖：

師：要求劉芳走了多少格，就是求下面直條的長。

（2）由圖到文字。

師（隱去情境圖）：你能看著這個直條圖說一說這幅圖的意思嗎？

（生答略）

師：這個直條圖把題目中的兩個條件和一個問題都表示出來了，看著直條圖，你能找到求劉芳走了多少格的方法嗎？

生：把上面的32格和下面的6格合起來。

師：小朋友可真不簡單，根據一幅圖不但復述了原來的題目，而且很快就找到了解決問題的方法。下面的圖你能看懂嗎？

3.完成“想想做做”第2題，理解直條圖。

（1）課件出示。

生：冬冬澆了36盆，小玉比冬冬少澆了12盆。問題是小玉一共澆了多少盆。

師：你能自己解決這個問題嗎？把答案寫在練習紙上。

（2）課件變換素材。

師：小朋友在干什么？（拍球）通過看圖，你能很快解答這個問題嗎？把你理解的題意說給同桌聽。自己會解決這個問題嗎？

（3）比較異同。

師：我們剛剛借助直條圖解決了兩個問題。細心的同學發現了什么？

生：單位名稱不同。

生：算式都一樣。

生：直條圖都一樣。

生：這兩個直條圖都表示比36少12的數是多少，都是用減法計算。

師：這兩題不同的地方在哪里？

生：講的事情不一樣。

（4）再次編題。

師：只看直條圖，你能不能根據這幅圖再編一道這樣的題目呢？

生：我拍了36下籃球，我的同桌張雨萌比我少拍了12下。張雨萌拍了多少下？

生：……

4.完成“想想做做”第3題，應用直條圖。

教師課件出示題目的情境圖（刪去小灰兔說的話）。

生：老師，沒法解決這個問題。小灰兔沒有說比小白兔多還是少。

師：小灰兔可能怎么說呢？

生：小灰兔說我比你多拔了7個。

師：如果小白兔拔的蘿卜用這么長的直條來表示的話（師用手比劃），小灰兔拔的蘿卜的個數也用直條表示，要比這個？（生：長）

生：我比你少拔7個。（用手勢表示直條圖）

師：猜猜看還能怎么說？

生：我和你拔的同樣多。（腦中想象直條圖）

師：這時小灰兔拔了多少個？

生：25個。

師：小灰兔到底怎樣說的呢？

課件出示：

我拔的和你同樣多。（腦中想象直條圖）

我拔的比你多得多。（腦中想象直條圖）

師：會是這四個數中的哪一個呢？（課件出示：12 25 27 48）

（生答略）

四、全課小結（略）

【教學思考】

作為2011版課標提出的核心概念之一，“幾何直觀”可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。它不僅在“圖形與幾何”的學習中發揮著不可替代的作用，在解決“數與代數”等其他領域的問題時，也具有十分重要的作用，特別對于解決較為抽象的整數比較題、分數問題、行程問題等實際問題的作用更加明顯。本課作為上述實際問題的認知起點，創造性引入直條圖，讓學生在剛剛接觸簡單實際問題時就感受到幾何直觀的價值。

直條圖源自實物操作時兩種事物的一一對應，同時又是后續學習線段圖的雛形和跳板。因此，直條圖作為解決“求比一個數多（少）幾”的實際問題模型和理解數量關系的支撐，它的出現不但可以幫助學生有效實現從直觀到抽象的跨越，而且為以后借助線段圖解決實際問題積累了豐富的感性經驗和理性經驗。

一、強化操作和直觀，直條圖呼之欲出

回顧本課的教學，數量關系的建立始終作為教學的重點與核心，這種核心的凸顯，就是借助了幾何直觀——直條圖。直條圖并非是教師直接給出的，而是在學生經歷了動手操作、表象操作與符號操作等多種表征轉換活動中逐步構建的。

（一）借助直觀激活原有經驗

解決“求一個數比另一個數多（少）幾”的實際問題是學生的原有經驗。課始，教師借助教材的主題情境直接出示兩排花片，讓學生說一說小青比小東多擺了幾個，而且通過“不計算，怎樣看出多擺的個數”來引導學生直接關注多的部分，為新知的建構激活了相關經驗。而兩行花片的一一對應擺放，是直條長、短的直觀顯現。

（二）借助操作積累表象經驗

低年級兒童的思維特點主要以形象思維為主，動手操作是其獲取數學知識的主要途徑，但教學并沒有停留在操作層面，而是借助操作積累豐富的表象經驗。

解決例題“小華擺了多少個”時，先提出了不同層次的要求：“可以借助花片擺一擺，也可以不用花片，在腦中想一想怎樣擺”；接著再引導學生同桌互相說怎樣擺（一人說，一人在腦中擺），進一步豐富表象經驗的積累。

解決例題“小平擺了多少個”時，教師則直接提出要求：“不動手，你能把小平擺花片的情況在腦子里擺出來嗎？”引導學生逐漸擺脫實物直觀，強化表象在解決問題中的作用，再次為直條圖的出現積累豐富的表象經驗。

鞏固練習的第一環節，教師仍然安排了操作活動，第一個操作是對本課新知的及時鞏固，第二個操作則再次著眼表象經驗的建立和鞏固，一位學生匯報自己的操作，其余學生想象是怎樣擺的，并列式解答。

（三）借助動畫產生直條圖

在教學例題的環節，教師并沒有急于亮出直條圖，而是在上述兩個過程中，為直條圖的出現做足文章，積淀豐富的操作經驗和表象經驗，給學生造成一種“直條圖”呼之欲出的情感體驗。

解決“想想做做”第1題后，教師則讓學生先體驗用方格一格一格擺出李寧走的步數太麻煩了，再借助動畫將每個格子合并起來，就產生了直條圖，并逐步完善直條圖，從而實現情境圖到直條圖的過渡。到此，直條圖便自然、“直觀”呈現在學生的面前。

二、運用直條圖，為理解數量關系構建數學模型

數學應用題的教學核心是理清數量關系。問題的求解，在于透過對情境的理解，掌握數量關系，從而建立求解模型。低年級的應用題教學要遵循低年級兒童的心理特點，抽象的程度不能太高。因此，作為半直觀半抽象的直條圖就為低年級學生理解數量關系進而構建模型提供了支撐。

（一）看懂圖意，體會直條圖的內涵

運用的前提是理解。所以，在直條圖出現以后，教師及時引導學生看懂圖意：“你能看著這個直條圖說一說它的意思嗎？”讓學生看著直條圖復述圖意，從而認識到“直條圖把題目中的兩個條件和一個問題都表示出來了”。這樣一個由圖到文字的過程，讓學生再次從半抽象半直觀的直條圖回到原來的問題情境之中。再次的思維轉化過程，學生初步體會了直條圖的內涵，為后面的應用積累了認知經驗。

（二）變化素材，體會數量關系的不變

在初步看懂直條圖的基礎上，教師利用“想想做做”第2題設計了層次遞進的練習，先是將教材中的情境圖變為情境加直條圖，一方面及時加深對直條圖的認知與理解，另一方面，進一步體會求比較量的數量關系；緊接著，教師變化素材，由澆花到拍球。情境變化，但是數量關系不變，學生在口述圖意及解決問題的基礎上自主發現：“兩道題說的事雖然不同，但是數量關系是相同的，解決問題的方法也是相同的。”從而突出解決問題中“數量關系”的核心作用。

（三）看圖編題，體會數學模型的價值

在前面兩個層次的數學活動中，學生對直條圖的認知與運用、對數量關系的理解，足以幫助學生解決本類型的實際問題。但教學并沒有止于此，而是順勢再進一步——“只看直條圖，你能不能根據這幅圖再編一道這樣的題目呢”，這個問題瞬間將學生的思維激活。學生在這個活動中不僅要深刻理解直條圖，而且能與生活經驗相對接。編的題目雖然不同，但使用了同一幅直條圖。這樣的教學突出了體會直條圖這一數學模型在解決問題中的價值。

三、強化直觀模型，形成解決問題經驗

解決問題經驗的獲得不是一蹴而就的，而是要反復經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程逐漸形成。在經歷了直條圖的產生、理解和初步應用的基礎上，教師巧妙開發“想想做做”第3題的教材空間，進一步強化直條圖這一直觀模型，從而幫助學生形成問題的經驗。

教師先是隱去教材中小灰兔的話，讓學生發現“沒法解決這個問題”，接著引導學生猜一猜“小灰兔可能怎么說”，在這個過程中，學生發現問題和提出問題的能力得到了培養。在分析問題時，教師先是用手勢比畫小白兔拔的蘿卜個數表示的直條，引導學生比畫對應的小灰兔拔的蘿卜個數表示的直條；接著，引導學生多次在頭腦中想象直條圖，從而強化直條圖在分析問題和解決問題中的作用；最后，教師將“數的意義”與“解決問題”相結合，通過“多得多”讓學生判斷小灰兔拔的個數可能是四個數的哪一個，再次強化小灰兔拔的個數對應的直條比小白兔拔的個數的直條長得多。在這個開發教材、知識綜合的過程中，不斷強化直條圖在解決實際問題中的模型價值，為以后學習借助線段圖分析問題和解決問題奠定發展的基石。

【注】本文為江蘇省教育科學 “十二五” 規劃重點課題《小學數學基本活動經驗形成的案例研究》（編號：B-b/2011/02/163）階段性成果。

（江蘇省邳州經濟開發區中心小學 221300）