例談數學教學中“幾何直觀”能力的培養

幾何直觀主要是指利用圖形來描述和分析問題，這樣有助于探索解決問題的思路，預測結果，幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中發揮著重要作用。無論是概念、性質、法則的教學，還是解決問題的教學，教師都可以借助圖形直觀幫助學生加以理解。那么在小學數學教學中如何培養學生的幾何直觀能力呢？

一、 化抽象為直觀，發展表征概念的能力

在小學數學中，有相當一部分數學知識都是伴隨著幾何意義而存在的。“圖形與幾何”的知識自不必說，“數與代數”“統計與概率”中也滲透了許多有關幾何直觀的知識。在數學教學中加強數學概念幾何意義的闡釋，有利于學生形成概念表象，促進對數學知識的理解和記憶，積累表象建構的經驗，同時也為問題解決過程中的表象遷移提供了潛在的可能。因此，數學教學中要注意從學生年齡特點和已有的知識經驗出發，有計劃、有步驟地引導學生利用直觀圖形來表征數學概念，幫助學生獲得清晰的數學概念的表象，逐步構建數學概念的視覺表征系統，形成準確感知現實世界的能力。

例如，有教師在執教“乘法的初步認識”時，對于算式3×4，首先引導學生用不同的式子表示，像4+4+4、3+3+3+3、4×4-4、3×5-3、3×3+3等，除此之外還誘導學生用幾何圖形來表示算式3×4的意義，像長方形方格圖、長方體立體圖、線段圖等，為學生主動建構乘法意義的表象提供了豐富的素材，加深了學生對乘法意義的理解，數與形實現了完美的統一。這樣的數學教學，學生不但從不同的角度深刻體會了乘法的意義，而且初步獲得了利用圖形直觀描述數學知識的經驗。

二、 將數譯成形，發展描述問題的能力

信息加工心理學認為，人的長時記憶分為兩個系統，即表象系統和言語系統。這兩個系統既相互獨立又彼此聯系，這種觀點稱為雙重編碼說。按照雙重編碼理論，造成數學知識學習和記憶困難的主要原因在于數學學習材料（數學語言和符號）具有高度的抽象性，它不容易喚起視覺映像。因此，數學教學中，應該重視對學生進行心理映像方面的訓練。即在知識的形成階段，充分利用數學學習材料數與形統一的特點，引導學生將數學知識的言語表征轉化為表象表征，將數譯成形，形成科學、合理的概念系統。

在小學數學教學中，教師要重視直觀化的教學手段，通過畫圖（線段圖、面積圖、示意圖等）將復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。例如，教學計算題：1+3+5+7+…+99=（ ）時，可以設計兩個教學層次：第一層次，鼓勵學生嘗試解答，學生一般會按照等差數列求和的方法進行計算；第二層次，教師介紹畫正方形點陣圖表示題目的意思，并引導學生看著圖，尋找算式與點陣圖之間的關系，從中發現規律，得出1+3+5+7+…+99=502=2500。最后，回顧解題過程，使學生體會到，解決復雜問題時，可以換個思路，借助直觀圖，把復雜的數學問題變得簡單，從而找到解決問題的方法。

三、 加強直觀推理，發展分析問題的能力

直觀推理作為一種滲透力極強的思維形式，可以說是數學直觀的精髓。加強幾何直觀教學并不是只要求學生會構造示意圖或線段圖，能給出數學知識的直觀表征就可以了，因為構圖有時只需要關注一些數學對象的局部元素，缺乏對結構的整體把握。因此，教師還要充分發揮直觀推理在發現問題、分析問題過程中的作用，注意為學生創造主動思考的機會，鼓勵學生借助幾何直觀進行比較、分析和想象，展開豐富多彩的直觀推理，進而洞察數學對象的結構和關系，獲得數學結論。

例如，在教學“用假設的策略解決實際問題”時，教師可以提示學生根據自己的假設畫出示意圖，并根據畫出的圖分析乘船人數的變化以及產生這種變化的原因，引導學生根據數量發生的變化及時進行調整，推算出每種船的只數，最后進行檢驗。這一解決問題的過程就涉及直觀圖與算式的轉換，學生借助直觀圖，抽象出解題思路：假設—比較—調整—檢驗。因此，教師在培養學生幾何直觀能力的教學中，可以通過直觀圖像與數學符號的互相轉換，引導學生逐步學會利用圖形描述和分析數學問題。

四、 利用直觀探究，發展解決問題的能力

學生在開始接觸數學問題時，往往會習慣性地對問題作出一種直觀判斷，這種直觀判斷起初只是一種直覺、猜想或猜測，也正是這種直覺或猜想以及追求真理的愿望，引領學生展開進一步的探究，并最終解決問題。因此，數學教學要充分發揮幾何直觀在解決問題過程中的作用，注意引導學生經歷利用幾何直觀把復雜問題轉化成簡單問題的過程，特別是一些可以利用直觀來描述的問題，不必急于給出解決問題的方法，而要鼓勵學生借助直觀提出猜想或猜測，并盡可能地從中找到解決問題的思路或直接利用直觀手段求解，以幫助學生不斷積累利用直觀進行思考的經驗，發展幾何直觀能力和解決問題的能力。

例如，六年級 “百分數的應用”中有比較復雜的“工資分段繳稅”問題：國家規定個人收入要繳個人所得稅，如果工資在1600元以內不繳稅，超過部分不超過500元繳稅5%，超過500～2000元部分按10%繳稅，超過2000～5000元部分按15%繳稅。李叔叔月收入2400元，要繳多少個人所得稅？王叔叔月收入5200元，要繳稅多少元？在以往教學中，學生難以理解的有兩點：一是要繳稅的工資的稅率不止一個，到底按照怎樣的稅率來繳稅。二是分段的每一段工資是多少錢，比如超過500～2000元的部分到底是多少錢，是2000元，還是1500元，理解不清。教學中無論怎么講解，學生總是不能很好地理解分段繳稅的含義。若用畫線段圖的方法直觀地來表示分段繳稅的含義，簡潔明了，學生一看就明白。

線段圖如下圖所示，先畫一根線段，在圖上標出0和500，表示工資超過1600元的，超過部分在500元以內的就按照5%的稅率繳稅，標出5%。再根據第二句話“超過500～2000元部分按10%繳稅”，在線段圖上標出2000元，指出超過繳稅部分的工資大于500元，從500元（不包括500元）到2000元的這一段工資要按10%繳稅，標出10%。同理，如果超過繳稅部分的工資大于2000元，超出2000到5000元的部分要按照15%的稅率來繳稅。這樣學生對于分段繳稅的標準就清楚了。

然后，對照這個標準再來畫李叔叔工資中需要繳稅的部分，讓學生算出李叔叔月收入2400元，要繳稅的工資部分（2400-1600=800（元））。再問：800元對照繳稅線段圖上要畫多長？在圖上畫出表示800元的線段。如下圖。

提問：對照上面的繳稅分段圖，800元超過500元不到2000元，要分幾段繳費？第一段多少元，第二段多少元？為什么？學生看著兩個線段圖進行了對比，很容易就明白800元超過500元，不到2000元，分兩段繳稅，第一段500元，第二段是800-500=300（元）。

提問：500元這一段按百分之幾的稅率繳稅，300元的部分按百分之幾的稅率繳費？怎樣計算李叔叔繳稅多少錢？500×5%+300×10%=25+30=55（元）。有了剛才分析線段圖的基礎，第二個問題“王叔叔月收入5200元，要繳稅多少元”，雖然問題更復雜，要分三段繳稅，但解決問題的方法是一樣的。有了剛才的分段繳稅標準的線段圖，學生解決起來也不困難。讓學生自己對照繳稅標準畫出王叔叔工資需要繳稅的是多少元，確定分幾段來繳稅。5200-1600=3600（元），要繳稅的工資部分是3600元。對照繳稅線段圖，先畫出表示3600元的線段。提問學生3600元應該分幾段來繳稅？為什么？對照線段圖，學生很容易就看出應分三段來繳稅，如下圖。

追問：這三段分別是多少錢呢？怎么算？第一段500元，第二段是從500到2000元的部分，2000-500=1500（元），剩下的在第三段，3600-500 -1500=1600（元）。第一段按5%繳稅，第二段按10%繳稅，第三段按15%繳稅。500×5%+1500×10%+1600×15%=25+150+240=415（元）。

通過線段圖的直觀形象，用這種圖示語言可以簡明直觀地表示出數量關系，學生更容易理解分段繳稅的含義和算法，有助于探索解決問題的思路。

總之，幾何直觀能力的培養應貫穿整個小學數學學習的全過程，通過對學生幾何直觀能力的培養，使學生掌握數學的思考方式和學習方式，以促進學生能力的提升和數學素養的發展，也為學生今后深入學習數學奠定基礎。

（甘肅省會寧縣教育局 730700）