幾何直觀：運算概念教學的有效通道

小學數學運算概念的學習，主要包括四則運算概念、積的變化規律、商不變的性質和運算律等內容。在運算概念教學中，如何化抽象為具體、變復雜為簡明，一直是教學的焦點問題。一般地說，幾何直觀是運算概念教學目標達成的有效通道。因為幾何直觀可以借助形與數的對應幫助學生理解形與數的關聯，有助于運算概念的引入；可以借助形的表象來幫助學生理解抽象的運算算理，有助于運算方法的理解和掌握；可以借助形的幾何推算激發學生對運算規律的探究欲望，有助于運算規律的應用。本文就幾何直觀在運算律概念、運算算理理解、積的變化規律的教學中的實際運用為例，試著尋求以幾何直觀為主要路徑與手段來發現運算概念中內隱的幾何背景，從而有效揭示運算概念的本質。

一、幾何直觀有利于運算概念的引入

數與代數領域中的運算概念呈現線性的教學結構體系，根據同一領域內容的先后順序縱向展開。如果把這塊知識和圖形與幾何領域的內容結合，就能使知識點的學習環環相扣，形成一個網狀的知識結構。而兩者的結合點，就是利用幾何直觀對應形與數，使學生在理解形與數的關聯的基礎上，有效建構運算概念。

在教學乘法分配律后，教師總會發現學生中存在著大量的運算錯誤，主要形式有“（a×b ）×c”與“（a+b ）×c”混淆，“（a+b）×c”演算成“a+b×c”。出現困難的學生往往只建立了運算概念的表象，并沒有將其本質納入自身的知識結構中。其中重要的原因是學生對乘法分配律引入的表征感悟不深。在課堂上，如果只讓學生經歷從“數”到“數”、從“算”到“算”的乘法分配律建構過程，只讓學生用“數”表征“數”、用“算”表征“算”，那么學生對乘法分配律的理解就會停留在識記與模仿層面，既給他們帶去記憶負擔，又導致他們在多種運算律齊學之后胡亂運用。

那么，以什么來表征乘法分配律，以什么來引入乘法分配律的建構呢？在學生的學習中，雖然數與形一方面分別以不同的方式存在于各自的領域，但教師可以想辦法將它們聯系起來，例如，長方形的周長就與乘法分配律相關聯。學生在三年級已經學習了長方形的周長，是否可以利用長方形周長的計算經驗、直觀的線段圖來引出抽象的乘法分配律？筆者進行了嘗試，并收到了意想不到的效果。

（一）以形引數，以數表形

師：用兩種方法求出第一個長方形的周長。

生：5×2+3×2=16，（5+3）×2=16。（從形到數，是抽象概括）

師：指一指式子中每一步運算表示的是圖上的哪一部分。[“指一指”是從數到形，發現每一步運算代表的直觀意義，借助直觀理解（5+3）×2=5×2+3×2。]

（二）借助直觀，理解乘法分配律的基本模型

師（課件變數據）：現在，你還能算這個長方形的周長嗎？

生：（長+寬）×2，長×2+寬×2。

師：左邊乘了一個2，右邊乘了兩個2，左右為什么會相等？（長+寬）×2=長+寬×2，看起來更合理。

生：不是的。（長+寬）×2，是長方形一條長與一條寬先合起來，然后有這樣的兩份。長+寬×2，只有一條長兩條寬，變成一個殘疾長方形了。長×2+寬×2，是兩條長兩條寬，還是這個長方形。

師：你們能把自己的意思畫出來嗎？

（思考：學生原本對乘法分配律中數的變化并不在意，對“2”也不關注，他們很清楚用兩種方法求出的周長肯定相等，可現在不得不把所有的注意力都集中到式子中唯一的數字“2”上。他們經歷了剛才的“指一指”，對每一步運算代表的直觀意義有了清晰的解讀，因此能很快畫出直觀圖來表示（長+寬）×2、長×2+寬×2、長+寬×2所代表的意義。在這個過程中，學生自己利用直觀形象予以解釋，對乘法分配律的基本模型有更深刻的理解，無形中減少了類似（5+3）×2=5+3×2這樣的錯誤。）

師：當長方形的長和寬變成a和b，周長怎樣算？

生：（a+b）×2，a×2+b×2。

師：a和b可以是幾？你能舉例嗎？

師：觀察，這些式子里，誰總是不變的呢？

生：“2”，沒有變。

師：那如果“2”也變了，比如說變成了3，兩個式子還會相等嗎？請舉例，并用作圖的方式說明你的看法。（個別學生板演）

生： （a+b）×3=a×3+b×3。

（多名學生舉例、說明）

師：既然這個2也可以變，可以是3，可以是4……那我們可以用一個怎樣的式子加以概括？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：觀察一下你們畫的圖形，長度為a和b的線段有什么特點？

生：兩種線段一樣多。

師：當長度為a和b的線段擁有相等的數量時，我們總能得到這樣的兩個相等的式子嗎？當它們都有10份時，總長度是多少？

師：（a+b）×10=a×10+b×10。

師：誰來舉例？

生：當a和b都有99份時，（a+b）×99=a×99+b×99。

師：能看圖說嗎？

生：（5+12）×3=5×3+12×3。

師：（5+12）×3，從圖上怎么看？5×3+12×3又是怎么看？

師：大家都能理解為什么（a+b）×c=a×c+b×c，這很好。但這（a+b）×c=a×c+b×c，還表示著一種運算律，叫作乘法分配律。

（思考：在這一系列寫、說、畫之后，學生會自然地發現當a和b數量相等時，教師總可以寫出這樣的兩個相等的式子。借助直觀一步一步提取了基本模型，提取后再從數到形用直觀加以表征，數與形也就結合起來共同納入學生的認知系統。在數與形獨立、 對應的基礎上，讓兩者承接內聯，相互作用、相互影響，以便于學生更深刻地理解知識， 更全面地揭示知識的本質。）

二、幾何直觀有利于運算方法的理解

在計算教學中，經常能看到數形結合思想的體現。但如何在算理算法上突破以往的思維慣性，讓直觀幾何真正起到幫助學生理解算法的作用呢？丁杭纓老師的“多位數乘一位數筆算”教學給教師提供了極佳的范例。

（6 位小朋友參加羽毛球訓練，教練員要求“每人準備 30 只羽毛球 ”，他們訓練了一個月后，有3個小朋友剩下的羽毛球只數都是12只，另3個小朋友剩下的都是21只）

師：剛才同學們分別用口算的方法、豎式的方法嘗試計算了 21×3 的積。這兩種方法你看懂了嗎？為了證明大家已經理解了，老師想和大家一起合作，我點豎式中的一個（部分）數，你們點出它相當于橫式中的哪一步？在這幅圖中（見下圖），又是指哪一部分呢？（師點“ 3”，生點 “ 3 ×1 =3”，另一生指出了圖中王芳、陳園、張晴所剩下的羽毛球中，零散的3只。師再指 6，生圈3×20=60，另一生指出3人剩下6盒羽毛球）

師： 從上圖可以看出豎式中的每一步和口算、 圖都是有密切聯系的。

師：剛才我們計算了 21×3和 12×3， 再把兩個積相加， 算出還剩羽毛球 99 只。老師也解答了這個問題， 但是我的算式是這樣的： 33×3=99， 請你猜一猜， 老師是怎么想的？

生： 知道了， 21 和 12 加起來是 33， 再把 33 和 3 乘起來。

師： 請你在圖上指給大家看， 21 和 12 加起來是什么意思？……

師： 請你用豎式計算 33×3。（學生獨立計算，互相說明計算方法）

（思考：在這樣一個教學過程中，運用幾何直觀是教師的重要教學手段。幾何直觀為理解算理與算法提供了豐富的支撐。學生學會了算，理解了為什么這樣算，使運算在學生眼里不再是枯燥的，而是豐滿和立體的。）

三、幾何直觀有利于運算規律的應用

在小學運算概念中，主要有積變化的規律和商不變的規律。積的變化規律一課的教學目標是讓學生探索因數變化引起積的變化規律，感受發現數學中的規律。

教材以兩組乘法算式為載體，試圖引導學生通過觀察、口算、計算、說理、交流等活動，歸納出積的變化規律，并會用數學語言刻畫這個規律，感悟函數的思想方法。因此，在教學中，教師大多是從口算引入，再來引出規律，然后舉例驗證，最后應用。

學生雖然通過觀察、歸納，看似能夠比較順利地歸納出積的變化規律，但在實際應用時，卻出現了問題。

例如，下面這樣一道題（見圖1、圖2）。第二個因數依次擴大到原數的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍，學生的正確率較高?？梢坏⑺闶巾樞虼騺y，將題目重新排列（見圖2），錯誤卻大增。而當學生遇到下面這道題（見圖3）時，僅個別學生能夠自發運用積的變化規律去計算。

圖 1

圖 2

圖3

這說明學生從探究到應用使用的材料都是以組為單位按一定規律排列的乘式，探究時往往數據很簡單，使學生在易于發現規律的同時形成了對規律沒有學習需求的問題。而且從數到數，他們只看到積的0一個一個多起來了，卻沒有深刻領悟0因誰而多起來，為什么多起來，也無法將其與幾何圖形自發關聯。因此，很多學生不具備靈活應用積的變化規律的能力。

積的變化規律是小學階段第一次概括運算規律、應用規律，教師應該注意在歸納和應用的過程中讓學生經歷一個從直觀到抽象的過程，讓“形”成為“數”的支撐，讓學生經歷一個自發需要探究規律、運用規律的過程，讓探究需要成為規律歸納與應用的動力，使學生能將規律靈活應用于實際問題的解決。

第一步，計算中探求規律。呈現多個長方形，無序擺放，讓學生求出它們的面積。給出的數據不容易口算，又要計算4個圖形，學生自然會感到很麻煩。教師引導“看誰動作快，一邊算，一邊可以觀察哦！發現了數學秘密，你就不會覺得計算麻煩了”。當有個別學生發現秘密后，就會刺激其他學生去發現，允許同桌交流，擴大探究面。

第二步，結合直觀描述規律。讓學生上講臺來匯報他們的發現和思考。在學生回答時，教師緊扣“誰變了，誰不變，誰跟著變”將式子中的數與圖中的數據對應，從數的變化推論圖形面積的變化，又用圖形的形狀和面積的變化來直觀式子中數的變化。在學生描述發現的過程中，將上圖變成下圖，使學生直觀地認識到一條邊的長度不變，另一條邊擴大幾倍，面積也擴大相應的倍數。

借助“形”的支撐，學生很快歸納出“一個因數不變，另一個因數擴大幾倍，積也擴大相應的倍數”這一運算規律。

第三步，以形表數，靈活應用。提出“看到120×23，你想到了怎樣的圖形？”這類作圖問題，使學生在“數”與“形”的轉換中完全掌握規律。隨后做圖3的變化題（見圖4）。

圖4

把560變成544，544÷8×24與544×（24÷8），在計算上544×（24÷8）優勢明顯，凸顯運用規律的便捷性。而560÷8×24和560×（24÷8），誰更方便呢？方法不同，僅僅是解決問題的策略多樣化，并未為運算規律的應用提供助力。

數學是研究數量關系和空間形式的科學。數與形雖然存在于兩個系統領域中，但兩者在某種意義上往往存在著要素的對應關系。在小學數學運算概念教學中，如果能充分挖掘運算概念中的幾何內涵，優化幾何直觀的教學行為，打通數與形之間的通道，必將會使學生更深刻地理解運算概念，更全面地揭示概念的本質，學習也必將更為直觀和更具數學味。

（浙江省奉化市實驗小學 315500

浙江省奉化市教師進修學校 315500）