“幾何直觀”觀什么

編者按

近一年多來，對于幾何直觀概念和內涵的討論已頻見于相關雜志，取得了一定的共識，但對于如何根據不同的教學內容來運用幾何直觀等問題的討論尚不深入，為此，本刊特刊登一組相關文章，供大家討論。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了“幾何直觀”這一核心概念，認為“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用”。[1]這段話所說的是對幾何直觀在含義與作用方面廣義的理解。而在面對具體數學課程內容的時候，教科書編寫以及實際教學設計將要面臨的具體問題是：什么情況下需要幾何直觀？如何借助幾何直觀進行教學？通過幾何直觀能夠感知的內容究竟有什么？這些問題并不容易回答，期望通過下面幾個案例的分析，能夠成為此類問題研究的引玉之磚。

一、數形結合看“倒數”

小學數學課程與教學中關于“倒數的認識”通常關注兩點：第一是“兩個數的乘積都是1”；第二是“相乘的兩個數的分子、分母正好顛倒了位置”（見圖1）。

圖1 “倒數的認識”教科書圖例

其中，“兩個數的乘積都是1”揭示出了倒數關于乘法運算“逆元（Inverse Element）”的屬性；“分子、分母顛倒了位置”是從書寫形式上說明了兩個數之間的關系。這兩點均沒有從本質方面說明倒數的含義究竟是什么。以與2為例，二者相乘結果為1，表明關于乘法運算互為逆元，也就是互為倒數；從形式上看是分子、分母顛倒了位置。需要進一步探討的是，與2在意義上是如何相關聯的？

按照對分數的理解，表示“將單位1平均分為兩份中的一份”，而2可以認為是某數的2倍，現在需要知道這里的“某數”是什么？此時借助幾何直觀就可以使得與2的關系一目了然（見圖2）。

單位1等于2個：

圖2 2個示意圖

從圖2線段圖中可以看出，與其倒數2的關系為“單位1等于2個”。這樣的關系還可以反過來表達，也就是“單位1等于個2”，這一點可以從圖3中明顯看出。

單位1等于個2：

圖3 個2示意圖

按照這樣的方式還可以進一步理解與的關系，即“單位1等于個”（見圖4）。

單位1等于個：

圖4 個示意圖

反過來的“單位1等于個”可以從圖5明顯看出（見圖5）。

單位1等于個：

圖5 個示意圖

綜上，兩個互為倒數的分數與的關系可以概括為：分數對應的單位1中含有個。這一命題反過來也是正確的，即分數對應的單位1中含有個。這里的幾何直觀可以說揭示出了“倒數”真正的含義，借助幾何圖形使得互為倒數的兩個數之間的關系可以看見了。

有了這樣的理解，除數為分數的除法中“顛倒相乘”的運算法則就是顯而易見的事情了。比如“10÷”表示“求10里面包含多少個”，由于單位1里面包含個，所以10里面包含的個數就是的10倍，即10×=15。

從這個例子可以總結出幾何直觀在數學教學中的一個作用就是通過數與形的結合，借助形象的圖形展現出隱蔽著的數量關系。類似的例子還有，從圖6長方形面積之間的關系可以明顯看出乘法對加法的分配律“a×（b+c）=a×b+a×c”（見圖6）。

圖6 “分配律”直觀示意圖

二、幾何中的幾何直觀

需要指出，幾何直觀體現的并非僅僅是數與形的結合。在幾何圖形這一領域內部也經常需要幾何直觀溝通聯系并幫助理解。美國數學學會有一個名為《Mathematics Magazine》的期刊，其中有一個叫作“無字證明（Proof Without Word）”的欄目，欄目中的問題及其證明都是體現幾何直觀的。1990年6月該欄目刊載的就是如何直觀看出一個半徑為R的圓的周長2πR與圓的面積πR2之間的關系。[2]

圖7是一個半徑為R的圓，圓內部畫出許多同心圓。最外圍的大圓周長是2πR（見圖7）。

圖7 半徑為R的圓及其內部的同心圓示意圖

想象將圓面從某處剪開，然后逐步展開并拉直（見圖8）。

圖8 剪開并逐步拉直過程示意圖

當所有同心圓的圓周都拉直后，就會形成一個如圖9的三角形。

圖9 剪開并拉直后示意圖

這個三角形的底邊長度就是大圓周長2πR，底邊上的高就是大圓半徑R，利用三角形面積公式立刻可以得到這個三角形的面積為2πR×R÷2=πR2，與圓面積公式一致。

數學知識之間的聯系有宏觀和微觀的區別，如果把對倒數的認識看作是算術或代數領域中的內容，那么前面對倒數的認識用幾何直觀所溝通的是數學中不同領域之間的聯系，這樣的聯系屬于宏觀的聯系。這里所說的圓周長和圓面積同屬于圓這一幾何圖形的測量問題，二者并非孤立存在，而是相互關聯的，這樣的聯系不同于宏觀的聯系，屬于微觀的聯系。其中的幾何直觀是通過一系列的圖形演變，使得隱藏著的聯系變得明顯了。

幾何直觀可以分為靜態和動態兩種。所謂動態的幾何直觀是指將幾何圖形實施保持某種屬性不變的一系列的變化，前面從圖7到圖9的變化就保持了圓的面積這一屬性沒有變化。人民教育出版社出版的《義務教育課程標準教科書-數學》五年級上冊中關于“多邊形的面積”這一內容的呈現基本上也是這樣的過程（見圖10）。

圖10 人教版教科書“平行四邊形面積”示意圖

三、幾何直觀并非全能

應當注意的是幾何直觀并非全能，它是依賴于感官的感知，這種感知有時并不可靠。比如觀察圖11左右兩個中心處的圓圈，直觀上會感覺右面的比左面的大，而實際上這兩個圓的大小是一樣的。

圖11 感官錯覺示意圖

這種對感官錯覺（Visible Illusion）的研究由來已久，古希臘時期的亞里士多德（Aristotle）提出的“輪子悖論”就是典型的例子。[3]設想有大小不同的兩個同心圓，沿著水平方向滾動（見圖12）。

圖12 輪子悖論示意圖

大圓滾動一周后，圖12中線段CC'的長度應當與大圓周長相等，那么線段DD'的長度是什么呢？直觀上看與大圓周長相等，同時又應當與小圓周長相等。這就形成了一個自相矛盾的結論，因為兩個半徑不同的圓的周長是不可能相等的。這種自相矛盾的結論叫作悖論，分析產生這一悖論的原因，實際上是在大圓滾動過程中，小圓的運動方式并非只有滾動，還有人的感官難以察覺地“滑動”，滑動的距離與小圓周長的和就成為了大圓周長。[4]

小學六年級學生在學習“圓錐體積”時會出現這樣的疑問：“等底等高的圓柱和圓錐分別可以看作是由一個長方形和一個直角三角形旋轉而成的（見圖13），旋轉之前三角形的面積是長方形面積的二分之一，那么旋轉之后圓錐的體積為什么不是圓柱體積的二分之一，而變成三分之一了呢？”

圖13 圓錐體積示意圖

這種疑問的產生實際上就是過分依賴幾何直觀，缺少了邏輯方面的思考。事實上，旋轉體的體積并不是由旋轉之前旋轉面的面積唯一確定的，還與旋轉的距離有關。學生的疑問來源于“一因一果”的思維模式。旋轉體的體積是由面積的大小和旋轉的距離這樣兩個因素同時制約的。更詳細的解釋可參見筆者在本刊2011年第7～8期發表的另外一篇題為《為何不是二分之一》的文章。[5]

綜上，“直觀”是相對于“抽象”而言的，抽象作為人頭腦中的思維活動，往往具有隱性的特征。因此直觀的過程就是把抽象的內容具體化、把隱性的內容形象化的過程。幾何直觀是利用幾何圖形使得隱性的內容和過程顯性化。幾何直觀作為數學學習活動的一種方式，除了應當發揮其“通過直觀實現簡明”的功能外，還應當重視幾何直觀對于“展現思維活動”以及“溝通數學對象之間聯系”的作用。同時要注意幾何直觀并非孤立存在，應與邏輯推理等思維活動相輔相成。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京師范大學出版社， 2012，（1）：6.

[2]Russell Jay Hendel. Proof without Words： Area of a Disk Is . Mathematics Magazine， Vol. 63， No. 3 （Jun.， 1990）：188.

[3]Israel E. Drabkin. Aristotle's Wheel： Notes on the History of a Paradox. Osiris， Vol. 9. （1950）： 162～198.

[4]郜舒竹，李燕. 看不見的滑動——輪子悖論探秘[J]. 數學通報，2007，（3）.

[5]郜舒竹. 為何不是二分之一[J].教學月刊， 2011，（7～8）.

（首都師范大學初等教育學院 100048

北京市海淀區教師進修學校 100080）