利用一題多解培養學生思維能力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出：“數學課程要使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理思維，培養學生的創新意識和實踐能力。”“良好的數學教育不僅要讓學生理解和運用一些數學概念，掌握一些數學方法，還應當包括使學生感悟一些數學的基本思想。”在初中數學教學中，要教育和引導學生多方位、多層次、多角度地分析、思考、理解、解決數學問題，鼓勵學生一題多解，從各個不同的角度進行分析、探討，可以得出多種解法，再進行分析對比，選出巧解妙證。這樣的思考分析方法，對開闊學生的視野，拓寬學生的思路，擴大解題成果，提高學生的邏輯思維水平和解題能力，是很有益處的。現以中考一道試題為例，介紹幾種不同的證明方法。

（圖1）

例如：如圖1，在等腰三角形ABC中，AH⊥BC于H，D是底邊BC上的任意一點，過D點作BC的垂線交AC于M，交BA的延長線于N。求證：DM+DH=2AH。

一、用分析法證明

所謂分析法就是將被研究對象的整體分為各個部分、方面、因素和層次，并分別加以考察的認識活動方法。現用分析法證明如下。

證明：要DM+DN=2AH，只要+=2，而由DM∥AH，得+，由DN∥AH，得=. 因此，只要證+=2即可。又∵AB=AC，∴只要證CM=BN=2AC，于是只要證AM=AN即可。又∵∠ANM=∠BAH，∠ AMN=∠MAH，又∵AH是等腰△ABC底邊上的高，∴∠BAH=∠MAH，∴∠ANM=∠AMN，∴AM=AN，∴CM+BN=CM+AB+AN=CM+AB+AM=CM+

AM+AB=AC+AB=2AC，可證：DM+DH=2AH。

以上這種證明方法也叫倒推法，就是執果尋因，從我們所要的結果A出發，尋找能獲得A1的充分條件A2，再以A2為結果，尋找能獲得A2的充分條件A3……直到找到某一個能保證An-1成立的充分條件An，這個An是已知的（包括已知定義、公理、已有定理或題設），由于我們每步所找的都是充分條件，因此倒過來便知能從AN推到An-1 ……最近推到A1。這種倒推法有利于發現問題、解決問題，是我們數學教師在數學教學過程中給學生分析題目時常用而且又是非常重要的方法之一。

二、用綜合法證明

所謂綜合法，是把研究對象各部分聯系起加以研究，在整體上把握事物的本質和規律的一種思維方法。現用綜合法證明如下。

如圖1，在△ACN中，∵MD∥AH，∴=，在△BDN中，∵ND∥AH，∴=，∵AB=AC，∴=，又∵ND∥AH，∴∠ANM=∠BAH，∴∠AMN=∠ANM=∠BAH，∴∠AMN=∠MAH。又∵AH是等腰△ABC底邊上的高，∴∠BAH=∠MAH，∴∠ANM=∠AMN，∴AM=AN。CM+BN=CM+

AB+AN=CM+AN+AB=2AC，∴==2，∴=2，∴DM+DN=2AH。

通過上面的證明過程，我們可以發現，用綜合法證明比用分析法證明要難，但看題目時較容易，宜于答題時使用。

三、用代數法證明

代數法就是用代數知識解決非代數的題目，從而達到化繁為簡、代難為易的目的。現用代數法證明如下。

如圖1，設BN=X，DH=Y，則CD=X-Y，BD=X+Y，由△ABH∽△NBD，得==，由△MCD∽△ACH，得==，∴+=+=2，∴DM+DN=2AH

從代數法證明中我們可以看到代數法解決非代數問題，特別是幾何中的線段比例問題，有時會達到事半功倍的效果。

四、用三角法證明

三角法就是用三角方面的知識解決非三角方面的問題，從而達到化難為易、化繁為簡的目的。現用三角法證明如下。

如圖1，在Rt△ABH中，tanB=，∴AH=BHtanB.在Rt△NBD中，tanB=，∴DN=（BH+HD）tanB，在Rt△MDC中， tanC=，∴DM=（HC-HD）tanC，∵∠C=∠B，∴tanC=tanB. 又∵CH=BH，DM+DN-2AH=（HC-HD）tanC+（BH+HD）tanB-2BHtanB=HCtanC-HDtanC+BHtanB+HDtanB-2BHtanB=BHtanB-HDtanB+BHtanB+HDtanB-2BHtanB=0，∴DM+DN-2AH=0，

DM+DN=2AH。

從以上證明中可以看出，用三角證明法對解決非三角問題，尤其是代數問題，常常會迎刃而解，但因三角在初中數學中不作要求，故該種方法僅供參考。

以上幾種證明方法中，第一至第三種方法較容易，而且簡單，它們都有一種特點，就是利用比例關系，互相加（或減）使用，很容易與條件建立關系，而第四種方法學生是較難理解和掌握的。總的看來，此題不僅解題方法較多，而且方法有難有易，充分體現了命題者的匠心。通過這樣一題多解，能夠很好地訓練學生的思維能力，開闊學生的視野，拓寬學生的思路，從而達到《標準》提出的“了解數學的價值，提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養成良好的學習習慣，具有初步的創新意識和科學態度”的要求，從而有利于優秀人才的培養。