分數除法題：另類的算法，更有說服力的算理

小學數學要學習一種很重要的數——分數，其教學價值和實用價值都非常明確。從三年級學習分數開始，有很多知識點要學，“分數的基本性質”就是其中之一。很多六年級畢業生都會覺得分數的基本性質很有意思，但好像就在通分、約分、分數大小的比較中需要使用，其他方面幾乎用不到，看起來很可惜。那這個基本性質還有用嗎？還能在哪里可以繼續使用上呢？

筆者開始留心與分數有關的知識點。

我們來看看分數的除法。蘇教版數學第11冊第四單元是“分數除法”，第一課時就是分數除以整數。

例1：有■升果汁，平均分給2個小朋友，每個小朋友可以分到多少升？

以下是教學片段：

師：你們能自己算出每個小朋友分到的果汁量嗎？

孩子們通過看圖、分析都發現■÷2=■（升）。

當然，幾乎沒有人主動想到用■×■，除非老師啟發：還有其他方法嗎？這時不能責怪學生，因為這里用除法更直接、更自信。學生們還會想到把分數化成小數變成0.8÷2等一些不同的方法。然后讓學生把■÷2=■=■、■÷2=0.8÷2=0.4、■÷2=■×■=■等幾種不同的方法放在一起比較。

師：同學們，哪些方法有局限性？

學生發現第一種、第二種方法會遇到不能整除甚至不能除盡的情況，而第三種方法可以通用。對呀！這時，老師立刻寫出一題■÷3，“你們用第一種方法算算吧！”結果學生馬上脫口而出：4不能被3整除！

師：那你們準備怎么算這道題？

很多學生都用第三種方法來計算。

師：真的只有一種方法嗎？

學生們開始思考。一會兒，就有學生說：我可以把■化成■，再用■÷3，就可以用第一種方法了。

……

我很高興。在我對分數除法這單元的研究中，使用分數的基本性質幾乎可以讓所有類型的分數除法題——分數除以整數、整數除以分數、分數除以分數都能有個合理的、學生可以接受的解釋。這題就是從學生原有的知識經驗里更好地理解了■÷3為什么等于■，而另一種解釋“求■的■”則作為一種新的解釋原理在不斷充實、不斷更新（但仍不能主動溝通學生原來對除法的理解）。

好的，所有分數除以整數的題目，我們都可以在運用了分數的基本性質、改變分數分子和分母的數值后使用“分數的分子除以整數的商做分子，分母不變”這種方法來解決了。

下面我們來看看整數除以分數這種類型的題目。仍然用書中的例2：李老師把4個同樣大的橙子分給幼兒園小朋友。每人吃■個，可以分給幾人？

先看第一個問題的例示：4÷■，這個算式要求4里面有幾個■。學生通過現實經驗、畫圖感知、簡單推理，能用教材中呈現的兩種思路來解決：每人吃■個（半個）橙子，4個橙子可以分給8個人；1個橙子分給2個人，4個可以分給8個人。但如果這時被除數和除數的分數單位相同的話，不就可以更清楚地表現出“8個人”了嗎？所以我們也可以把4化成■，要求4里面有幾個■，就是求■里面有幾個■，那么4÷■=■÷■=8。

繼續來看例3：4米彩帶，每■米剪一段，可以剪成多少段？

學生列式：4÷■，也可以化成■÷■來計算，就是求■里面有幾個■。用這種方法不僅很容易讓學生發現■里面有6個■，還更容易溝通4÷■=6，是4×3÷2，3÷2就是■。

如此類推，分數除以分數仍可以用這種方法來計算、推理。

最后，筆者想說的是，分數除法題很容易算，但算理很不容易被理解，這就是一個數學教師最應該做的事。