如何讓學生學會“看”數學

你會看嗎？或許你會說，只要張開眼睛，連剛出生的嬰兒都會看。而筆者的看法是：“看”的學問范圍廣、內容多，要講究方式，討論方法，探索“看之秘訣”永無止境。本文談談如何在數學教學中指導學生“看”數學。

“觀察是人們認識事物、增長知識的最基本的途徑，是發展和解決問題的前提，是創造的先導，也是發展思維的基礎。”（閻承利：《教學最優化通論》，教育科學出版社，第219頁）那么如何“看”數學呢？請牢記關鍵句：“用數學化的頭腦觀察客觀事物。”何為“數學化的頭腦”？本文引用《數學課程標準》中的原句加以說明：“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐步抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。”“數學化的頭腦”就是用數學的思想方法去觀察、思考與表達。

數學學習要經歷三個過程：（1）觀察分析客觀世界。（2）抽象概括成數學思想方法理論。（3）廣泛應用數學的定性與定量。

蘇霍姆林斯基認為：“會學習是指會閱讀、會書寫、會觀察、會思考、會表達。要特別注意把學習這個工具交到孩子手里。”可見，觀察是學生學習的必備工具之一。蘇霍姆林斯基把學習應當掌握的12項技能，按順序排列第一項是“會觀察周圍的世界”。

一、具體地看

眾所周知，數學具有高度的抽象性，但兒童的心理特征是直觀感知，他們對直觀形象的具體事物感知的印象比較深刻，易學易會，而對抽象的數與形難以理解。教師要做有心人，在抽象的數學與具體感知之間搭橋鋪路，想方設法解決兒童的感知障礙。

例如，數學理論告訴我們：長（正）方形、三角形等這些多邊形是由封閉線段圍成的平面圖形。這個概念對小學生來說，看不見，拿不出。因此在低年級的教學中，教師往往出示具體的長（正）方形紙，讓學生通過摸、折、畫、剪等活動感知，其實“紙”已經是封閉圖形所圍成的平面部分（它的大小就是面積）。多舉實例也是具體地看的一種表現。

再舉一例，當學生誤認為“男生人數比女生多■，就是女生人數比男生少■”正確時，我啟迪兩點：第一，單位“1”不同，相同的分數所表示的具體數量相同嗎？由于男、女生人數不相同，所以兩個■表示的具體人數一定不相同。第二，采用“設數法”，設女生有20人，少■就是少20÷4=5（人），男生有15人，反過來說女生20人比男生15人多■。再練習，桃的個數比梨多■，就是梨的個數比桃少■。

用數學化的頭腦看，是解決抽象數學問題的有效秘訣之一。

二、運用抽象的數學知識看

例如，當學生產生“直線是射線的2倍”的感知錯覺時，可以在教學中引導學生理解：看黑板上的直線、射線，要想象出它能無限延長，只要望不到邊沒有端點，就不能比較長短，不能度量，更不能用加減乘除來計算。

又如，分數是個抽象的數，教學“分數比較大小”時有學生提出自己的看法：“西瓜的■要比香瓜的■要大得多，所以■>■。”表明學生感知分數概念時有障礙。我在“分數的認識”第一課時就特別強調單位“1”，分數是由平均分割單位“1”而產生的一種數，當人們說分數的時候，先要突出單位“1”，一般用“它的幾分之幾”來表示，要多訓練找出單位“1”這個它究竟指誰？（如：五（1）班有40人，其中■愛下棋。老師布置12道題，小丁完成了■。）

“具體地看”是理解數學的重要手段，“用抽象的數學知識看”是運用數學的重要方式，學習是為了運用，會用數學才是理解、掌握數學的主要指標之一。當我們判斷一個命題是否正確，就應該用數學方法與理論去分析思考，找出是否存在某些漏洞或差異。這一秘訣在日常教學中，我總是時時提醒，事事督促。

三、變式地看

孫悟空的火眼金睛能看出變化多端的妖怪，數學中的數與形也會變化，要擦亮眼睛認出千變萬化的數學。如用簡便方法計算：■+■+■+■，一般學生看見異分母分數相加，于是用通分辦法相加，而有數學頭腦的學生，想到的首先是“能化簡的要先化簡”，一經化簡，算式的數與數之間的特點就顯露出來了，簡算就方便多了。

再舉一例，在教學“三角形的面積”時，我出示下圖，讓學生仔細地看平行線之間的各個三角形，畫出下面各個三角形的高，如果各個三角形的底都是3厘米，分別求它們的面積，你發現了什么規律？（讓學生看出平行線之間的距離處處相等，等底等高的三角形面積相等、周長不相等。）

變式地看，就是能夠看出形式變化多端的同類事物，這是培養聯想能力、訓練思維的靈活性與敏捷性的秘訣之一。

四、多角度地看

五、用整體觀念看

觀察要站得高才能望得遠，數學知識的學習也應該居高臨下觀察才能學得全面。用整體觀察的數學頭腦看，才能做到觸類旁通，舉一反三，融會貫通。

如教學《認識比》時，讓學生觀察并比較“除法、分數、比”這三者之間的聯系與區別，讓學生自主探索。先看一些算式（略），再填寫下面的表格：

提醒：在am中，m可以看做■，a×■=a÷n，表述才完整。注意除數、分母、比的后項都不能為0。當說各部分名稱時，要用“相當于”敘述，不能用“就是”來敘述，因為三者是有區別的。

我在教學中，還引導學生板書：a÷b=■=a：b（b≠0），把除號拆開后就是一條分數線與一個比號，所以這三者的本質特征是溝通的，是一個人穿上不同顏色的外衣而已（實質相似，形式變化）。這樣的教學，便于學生溝通知識間的聯系，建立良好的知識結構。

六、用針對性的策略看

解決問題的策略是數學學習中的靈魂、精華、瑰寶，但是它不能單獨存在，無法拿來“轉化”。看看這是個什么東西，它如靈魂不能單獨存在一樣，只能附屬于肉體，策略只能附在一個一個的數學材料之中，所以學生學習它，只能是觀察數學材料的特點，進行自主探索，領悟、體會它的精華與魅力所在，才能靈活運用它。

請看一例：有裝滿同樣多油的5個油桶，分別分給5位工人使用，當每只油桶都正好用去20升油的時候，廠長要求把所有剩下的油都倒在一起，正好是滿滿的1桶油，那么原來1桶油有多少升？

如果用方程與分數的眼光看，列式是：設每桶有x升油。有（1-■）×5=1，解得x=25。很明顯，這種列分式方程的方法不適合四年級小學生。

再用方程的觀點看，可設每桶油有x升，得方程：5x-5×20=x，六年級學生才會解。

如果用轉化策略的眼光去看，所有剩下的油正好倒滿1桶，那么所有用去的油正好倒滿4桶，所以每桶油有20×5÷（5-1）=25（升）。

還可以這樣想：1桶油用去的20升相當于其余4桶剩下的油，每桶剩下的油有20÷4，所以每桶油有20+20÷（5-1）=25（升）或20÷（5-1）×5=25（升）。

運用轉化策略的優勢就很明顯地體現出來，對于四年級學生來說是完全可以理解的。能正確、靈活地運用不同策略解決問題是檢驗一個人的聰明才干的重要標志之一。

再請看下圖正方形的邊長是20厘米，求三個陰影部分的面積之和是多少？

不會策略地觀察事物的學生會分別求出三個陰影部分的面積，比較麻煩。若用轉化策略解決這個問題就容易多了，轉化的關鍵是等量代換與等積變形。正方形的邊長等于大圓的直徑，大圓被分割成六塊，其中半圓形■、牛角形■相加的面積就是蝌蚪形■，而蝌蚪形面積正好是大圓的■；還可以看出，這六塊中有陰影的與空白的三種圖形各有2個，所以3個不同陰影面積的和正好是大圓的一半。這樣觀察分析，解題就靈活。

“看”數學還有不少秘訣，如聯想地看，一一試探地看，旁敲側擊地看，分門別類地看，順向逆向地看……由于篇幅限制，不再一一贅述，有待進一步探索研究，并敬請專家與同行不吝指教。