用數學思維彰顯教學內容的數學味

《數學課程標準》（2011年版）明確規定了義務教育階段數學課程的學習內容。這些內容是依據社會的需求、數學的特點和學生的認知規律來確定的，它是每一個合格公民必須具備的數學基礎知識。如何讓學生理解和掌握這些基礎知識，是一線教師應積極探索的重要課題。

在課程改革再出發的今天，面對課標規定的教學內容，一線老師有了更自主的處理方式和更廣闊的創新平臺。我認為，讓教學內容彰顯出數學味就意味著發揮自己的主觀能動作用，根據數學教育的本質特點，對現有的教學內容進行合理處理，使之更能促進學生數學素養的提升。

我們不妨借用數學的思維來進行彰顯數學味的探索。

一、加法和減法

加法和減法是數學中兩種最基本的運算方法，但同時也是兩種不同的思維策略。我們這里說的是后者。

首先是加法的策略。數學學習內容原本就具有數學味，這是毋庸置疑的。但是，在實際操作的過程中，由于要結合學生的生活經驗，要照顧到學生的接受能力，有時候還要考慮到課堂教學的觀賞性（特別是一些公開課），常常會使得數學味丟失。比如，教學《長方形和正方形的認識》時，我們許多老師會呈現出許多生活中的長方形和正方形，讓學生一起欣賞圖片。事實上，不僅僅是幾何圖形，還有“找規律”“觀察物體”“數對”等內容，老師們都喜歡在公開課安排圖片欣賞的環節。當然，就結合兒童的認知特點、加強數學與生活的聯系而言，這樣做無可厚非，但是如果所有的課堂教學都這樣做，就有泛濫成災之疑了。我們除了聽到孩子們發出“哇哇”的贊嘆聲之外，根本就看不出學生把這些圖片和數學作了怎樣的聯系。

面對這種數學味的丟失，我們可以在保持生活味的同時加入數學的元素。比如，我們讓學生觀賞完長方形和正方形桌子的圖片之后，可以提出這些問題：為什么中國人的桌子喜歡做成正方形的八仙桌，而西方人的桌子喜歡做成長方形的西餐桌？這其中的數學原理又是什么？經過思考，我們不難找出答案：中國人是共餐的，為了使得放在中間的菜讓每個成員都能夠得著，飯桌做成正方形比較方便；而吃西餐的時候，每個人都把菜裝在自己的盤子里，就不要考慮夾菜的問題，因而做成長方形就無所謂了。這些都是跟圖形的特征息息相關的，這就使得原本平面化的內容有了數學味。

再來說說減法的策略。為了體現數學在生活中的應用，教材安排了許多生活情境，學兩位數加兩位數的時候是買東西的情境，學三位數加三位數的時候還是買東西的情境，學加法是買東西的情境，學減法、乘法、除法還是買東西的情境。買東西的時候需要用到數學這固然不錯，可是如果每學一個新知都需要用這樣的情境來導入的話，就是一種教學的浪費了。首先，買東西要用到數學這個道理學生是懂的，學生在生活中買東西的時候，也會動用他的知識技能去全力解決問題，無需我們喋喋不休地強調學習的“情感、態度與價值觀”；其次，一堂課的時間非常寶貴，只有短短的40分鐘，如果每學一個計算都要從情境入手，都要從問題解決入手，那勢必會占用很多的時間，這是非常可惜的。

其實無論是做加法還是做減法，它們本質的指向是共同的。那就是既讓學生體驗到數學在生活中的存在，又要對數學的本質有深刻的認識。但其中不容忽視的一點，就是不能讓生活認識取代數學認識。一個目不識丁的老奶奶，她也認識圓，但她所認識的圓和數學上的圓肯定不是同一回事。老奶奶肯定不具備觀察、分析、對比、歸納等數學知識和技能，不會舉一反三、推而廣之的數學思維方式。而這些正是所謂的數學味，是我們要通過教學促使學生形成的數學素養。

二、合并與拆分

數學中有乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c），反過來，a×（b+c）=a×b+a×c，按照從左到右的次序來看，前者是合并，后者是拆分。

合并和拆分的數學思維對我們處理教材具有啟迪意義。正如“a×b”和“a×c”，數學教學內容中也存在著相同的“公因數”。比如“加法交換律”和“乘法交換律”就存在著“公因數”——“交換律”。一般情況下，教材在安排加法、乘法的定律時，都是先安排加法交換律、加法結合律，接著是乘法交換律、乘法結合律。但是如果根據a×b+a×c=a×（b+c）的思路，我們也可以把加法交換律和乘法交換律合并在一起，將“交換律”凸顯出來，從而幫助學生更好地掌握數學技能。

在教學實踐中，我大膽地進行了嘗試，將加法交換律和乘法交換律重組在一起，并給課題取名為“探索交換律”。教學時，由學生已有的感性經驗出發，按照“猜想—驗證—總結—應用”的線索逐步推進。探索加法交換律時老師半扶半放，探索乘法交換律時由學生自主探索。由于交換律本身比較直觀，再加上師生共同努力，一堂課下來基本形成了清晰的“猜想—驗證—總結—應用”的模型。事實上，許多數學研究正是沿著這個路線探索的。這就使得原本看似簡單的教學內容體現了數學探究的全貌，包含了濃濃的數學味。

與合并相反的是拆分。教過六年級的老師都有這樣的體驗，用分數乘法解決問題和用分數除法解決問題分屬不同的單元，學生在學習用分數乘法解決問題時，非常順利，可是學習用分數除法解決問題時，問題就來了，不但新學的用分數除法解決問題不能理解，連用分數乘法解決問題也不會了。

這是什么道理呢？原來，學生學習用分數乘法解決問題時，并不是真正理解了其中的數量關系式，而是在套用公式。在本單元中學生看到的都是類似“紅繩長20米，藍繩比紅繩長■，藍繩長多少米”的問題，他們只需記住用乘法和加法（或減法）來解決問題，而且屢試不爽，于是就不去思考問題的本質究竟是什么。這種廉價的“正確”，表面上是學生會解題了，實質上是數學味的丟失。學生只是單純依靠簡單的模仿和記憶解決問題，并沒有多少思維的參與。

要解決這一問題，我們不妨采用拆分的思路，把集中在一起出現的用分數乘法解決問題分成若干個板塊。學生對用分數乘法解決問題有了初步認識之后，不忙著用很多類似的習題來鞏固技能，而是適時加入其他看似相同但實質不同的問題，如“紅繩長20米，藍繩比紅繩長■米，藍繩長多少米”，促使學生關注問題的本質。

我的一位同事更為大膽，她在學生剛剛接觸用分數乘法解決問題時就把分數除法解決問題引進來，如“紅繩長20米，紅繩比藍繩長■，藍繩長多少米”，這樣就讓原本一前一后呈現的教學內容變成了兩條相互交叉的螺旋線，學生可以隨時對分數乘法和分數除法進行甄別，從而理解各自的本質。實踐證明，這種拆分對比式的教學效果很不錯，學生在解決問題的時候有了更多的數學味。

“天下大勢，合久必分，分久必合。”從某種意義上來看，教學內容也在經歷著分分合合的演變，這是因為任何教學手段都是一把雙刃劍，無論是內容的合并還是內容的拆分都沒有絕對的好，也沒有絕對的不好。就像a×b+a×c和a×（b+c），我們很難說哪種計算方式是最簡便的。對于（40+4）×25來說，改成a×b+a×c的形式是簡便的；對于36×25+64×25來說，改成a×（b+c）的形式是簡便的。教學內容究竟怎樣合并和拆分才更有數學味，還要視具體情況而定。

三、歸納與演繹

歸納和演繹是兩種相對的思維方式。歸納是從特殊到一般，演繹是從一般到特殊。我們在處理教學內容時也可遵循這兩種不同的思維方式，可讓自己的教學更具數學味。

以具體可見的內容來說，蘇教版教材安排了“解決問題的策略”，這是很有意義的嘗試，可以幫助學生在解題過程中形成更高一級的智慧，對學生形成生活智慧也很有幫助。但到了實際操作的層面，我們這些一線老師卻常常很為難。把策略講得具體點吧，就像是在講一道道奧數題，講得抽象一點吧，學生又沒有足夠的感性經驗，分寸很難把握。

以五年級下冊的“倒推”為例，教材中安排了2個例題和一道“試一試”。

例1 甲、乙兩杯果汁共400毫升，從甲杯倒入乙杯40毫升，兩杯果汁同樣多，甲、乙兩杯果汁原各有多少毫升？

例2 小明原有一些郵票，今年又收集了24張，送給小軍30張后，還剩52張。小明原來有多少張郵票？

“試一試” 小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多一張送給小明，自己還剩25張，小軍原來有多少張畫片？

一線老師在平時的課堂上講解這三道題，起碼要40分鐘。即便這樣，學生對怎樣倒推可能還不甚了了。因為，學生已經被變幻的情境和其他策略（比如列表、摘錄條件）干擾了視線，只見樹木不見森林。所謂“倒推”，并沒有成為學生真正理解的策略。為此，我在處理這段教材的時候，先進行歸納。倒推的本質究竟是什么？經過仔細研究，發現所謂倒推就是已知變化的結果和變化的過程，求變化之前的情況。倒推時有兩個本質的特點：一是倒過來想，二是反過來算。抓住這樣的本質，我對教學內容重新進行處理：先出示例2，構建出倒推策略的一般模型，再通過情景表演研究“試一試”，深化對模型的認識，最后再讓學生獨立解決例1。

實踐證明，由于老師事先對教學內容進行了歸納，構建出模型，三道題圍繞模型展開教學，無需在細節上糾纏，很好地體現了“簡潔、有序、高效”。

再來看演繹，如前所說，演繹是從一般到特殊。其實，教學本身就是“演繹”，是老師將自己對數學一般性的理解用各種方式傳遞給學生的過程。這就要求我們首先對所教學的內容有一個正確、全面、深刻的認識，才能保證自己的數學課有數學味。

新課程增加了許多新內容，“統計與可能性”“平移與旋轉”，這些內容許多老師做學生時都沒有學過，它們出現在教材中之后，大家又沒有仔細研究，結果就經常犯“科學性”錯誤。現舉一些我所聽到過的錯例：

一名老師在上《用分數表示可能性大小》時和學生作了這樣的交流：如果老師問一個問題，喊中你回答的可能性是多少？學生說■，老師說“對”。老師又問：如果老師問100個問題喊中你的可能性是多少呢？學生說是■，老師說“對”。——嗚呼，概率怎么會是■呢？

同樣的課題，一名老師拿著平分成紅藍兩個區域的轉盤，問指針轉100次，落到紅色區域里有多少次。學生說50次，老師說“對”。——這樣的問題是可能性問題嗎？

教學《平移旋轉》時，一些老師這么歸納：平移是沿著直線運動的，旋轉就是沿著曲線運動的。——平移和旋轉或許不會這么簡單吧。

……

如果教師自身對數學都理解錯了，那么他所傳遞給學生的數學味究竟是什么味兒呢？數學老師自身的數學素養是演繹推理的“大前提”，要知道，只有“大前提”正確了，才能推出正確的“結論”啊。

是的，提升自身的數學素養是彰顯數學味的根本途徑，而正是數學素養，讓我們可以從加法和減法、合并與拆分、歸納與演繹這些數學思維方式的角度來彰顯數學課中的數學味，這也算是“取之于數，用之于數”的自我回報吧。