通過“變異理論”，提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性

針對(duì)小學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的特點(diǎn)，教師須在數(shù)學(xué)教學(xué)中抓住概念的本質(zhì)特征，以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的全面把握。那么，怎樣才能提升概念教學(xué)的有效性呢？“變異理論”為我們提供了全新的視角。具體而言，大致概括為三方面。

一、學(xué)習(xí)源于系統(tǒng)的重復(fù)和變異

“變異理論”認(rèn)為：一定數(shù)量的重復(fù)對(duì)于學(xué)習(xí)來說絕對(duì)必要。因此，為了認(rèn)識(shí)某事物，就必須注意到該事物與其他事物的不同之處，即本質(zhì)特征。為此，“變異理論”總結(jié)出了“變”與“不變”的四種范式：“對(duì)比”“類合”“分離”與“融合”。

例如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容時(shí)，“平均分”是分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵屬性，為了幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“平均分”這個(gè)關(guān)鍵屬性，教師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生喜聞樂見的教學(xué)情境（生日派對(duì)）導(dǎo)入新課，讓學(xué)生借助自己的生活經(jīng)驗(yàn)將一塊蛋糕分成兩份，得出“相等”和“不等”這兩種分法。通過兩種分法的對(duì)比，學(xué)生可認(rèn)定“平均分”是最公平的分法，從而引出，為“分?jǐn)?shù)”的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。教師在學(xué)生用表示出半個(gè)蛋糕之后，通過“類和”這一范式幫助學(xué)生把學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用于其他教學(xué)情境中。例如讓學(xué)生借助圓形、長(zhǎng)方形、等邊三角形和等腰梯形等學(xué)具，先動(dòng)手折一折，再用斜線把它的涂上顏色，以此說明的意義。教師通過指導(dǎo)學(xué)生對(duì)比長(zhǎng)方形的三種折法，進(jìn)一步體會(huì)不管怎樣對(duì)折，只要把長(zhǎng)方形平均分成兩份，每份便是這個(gè)長(zhǎng)方形的。在學(xué)生充分感知的基礎(chǔ)上，為了幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“分?jǐn)?shù)”的“分母”這一關(guān)鍵屬性，教師運(yùn)用“分離”這一范式，適時(shí)提出問題：你還想認(rèn)識(shí)幾分之一？用手中的學(xué)具折一折，并用彩筆表示出來。就這樣，教師給予學(xué)生充分的空間和時(shí)間，讓學(xué)生自主創(chuàng)造“分?jǐn)?shù)”，學(xué)生在動(dòng)手折、說“分?jǐn)?shù)”的意義和觀察板書的同時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)不管什么圖形，只要平均分成幾份，“分母”就是幾，“分母”表示的是分的份數(shù)。

接著，教師通過圖形的變換，不斷拓展學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)”的認(rèn)識(shí)，體會(huì)“分?jǐn)?shù)”的“分母”和“分?jǐn)?shù)”數(shù)值的關(guān)系。下列圖形中，涂色部分可以用幾分之一表示？

最后一幅圖運(yùn)用“融合”這一范式，具有承上啟下的作用。承接幾分之一，又引出新知幾分之幾，通過“上圖中空白部分可用幾分之幾來表示？為什么分子不是1？”這兩個(gè)追問，分離出“分子”的屬性：“分子”表示所取的份數(shù)。就這樣，學(xué)生明白了“分子”“分母”的屬性，從而在頭腦中建立“分?jǐn)?shù)”這一概念。

二、學(xué)習(xí)是遷移的“共同性”和“差異性”共同作用的結(jié)果

“變異理論”認(rèn)為：沒有“共同性”就不會(huì)有遷移。其實(shí)，沒有“差異性”也不會(huì)有遷移?？梢姡肮餐浴焙汀安町愋浴边@二者同樣重要。我們能認(rèn)識(shí)事物的特征，關(guān)鍵在于這些事物有些方面相同、有些方面不同，于是通過對(duì)比、區(qū)分，我們認(rèn)識(shí)和理解了事物的特征。傳統(tǒng)意義上的概念性變式主要包括兩類：一類是改變概念的外延，稱為“概念變式”；另一類是改變一些易混淆概念外延的屬性，例如舉反例，稱為“非概念變式”。這兩類變式構(gòu)成“概念性變式”，目的是讓學(xué)生獲得對(duì)概念的多角度的理解。因此，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容時(shí)，我設(shè)計(jì)了三道練習(xí)題。

其一，用分?jǐn)?shù)表示下面各圖中的涂色部分，并讀一讀。

其二，按分?jǐn)?shù)把下面各圖形涂上顏色。

其三，下面圖形中涂色部分可用分?jǐn)?shù)表示嗎？

在這一鞏固練習(xí)中，我運(yùn)用“融合”這一范式，將是否“平均分”“切分”的份數(shù)、所取的份數(shù)進(jìn)行變換，為學(xué)生提供標(biāo)準(zhǔn)、非標(biāo)準(zhǔn)的正例，使學(xué)生抓住概念的本質(zhì)屬性，以幫助學(xué)生形成準(zhǔn)確的概念，最終使學(xué)生真正掌握概念。值得注意的是，第三道練習(xí)題需要學(xué)生添加輔助線，然后才能將圖形平均分，最終用恰當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)表示。

三、學(xué)生的錯(cuò)誤是最好的教學(xué)資源——反例

“變異理論”認(rèn)為：學(xué)習(xí)者要先認(rèn)識(shí)事物的相關(guān)屬性，然后把這些相關(guān)屬性聯(lián)系起來，才能準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)這個(gè)事物，這為我們理解正、反例在概念學(xué)習(xí)中的作用提供了獨(dú)特視角。例如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容時(shí)，我們通常會(huì)采用這樣的練習(xí)形式。

用下面的分?jǐn)?shù)表示陰影部分對(duì)嗎？對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“╳”。

前兩道題是判斷“平均分”這一關(guān)鍵屬性的反例，但第二小題往往會(huì)有學(xué)生將其判斷為正確。因此，在課堂教學(xué)中，教師可給學(xué)生創(chuàng)設(shè)寬廣的思維空間，引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位地審視“圖”與“數(shù)”之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而深化對(duì)“分?jǐn)?shù)”的認(rèn)識(shí)。

學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念不是一蹴而就的，因此，教師只有抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，不斷加強(qiáng)“對(duì)比”“類合”“分離”與“融合”的變式練習(xí)，才能促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

（作者單位：北京市海淀區(qū)東馬坊小學(xué)）

（責(zé)任編輯：萬馳 梁金）