應用“變異理論”，夯實數學課堂

“變異理論”強調，要認識某個事物，就要注意這個事物與其他事物在某個屬性上的不同之處。將這一理念引入小學數學課堂教學，具體表現為：提供具體多樣的例證，區分教學內容的關鍵屬性，以使學生識別關鍵屬性，最終真正掌握教學內容。本文旨在結合“分數的基本性質”和“圖形中的規律”等內容的教學，談談“技能教學”和“問題解決教學”中的變異策略。

一、“技能教學”中的變異策略

“分數的基本性質”是小學數學五年級上冊“分數”單元的內容。分數的基本性質是約分和通分的基礎，而約分、通分又是分數四則運算的基礎，因此，應對教學內容和學生經驗進行分析。

1.教學內容分析

（1）“分數的基本性質”的關鍵要素

“分數的基本性質”，即“分數的分子和分母都乘以或除以相同的數（0除外），分數大小不變”。其中，關鍵要素是“都”“乘以或除以”及“相同的數（0除外）”。

（2）關鍵要素變異維度的分析

分子和分母都乘以或除以相同的數的變化（擴大或縮小相同倍數的變化）。

2.學情調查分析

調研發現，大多數學生對“分數的基本性質”這一內容并不陌生，但在理解和應用方面存在問題，因此，我認為教學這一內容時有兩點需要注意：一是把分數的性質作為教學重點，二是探尋整數、小數和分數之間的內在聯系。

3.教學環節設計

針對“分數的基本性質”這一內容，我設計了四個教學環節。其一，課前交流。我設計了對口令游戲，即教師隨意說一個數（例如，2、0.4、5/WNeRJQkt+Ezo1QIsNN1Ufw==10），學生也要說一個與這個數相等的數，以喚起學生對“分數的分子和分母都乘以或除以相同的數（0除外），分數大小不變”的思考。其二，情景引入與探索。我創設了這樣的教學情景：某班組織“同看一本書”的閱讀活動。小王讀了一本書的3/4，小方讀了這本書的6/8，小張讀了這本書的9/12。他們三個人誰讀的頁數最多？（這本書共有120頁）。通過比較三個分數的大小，學生開始自主探究“分數的基本性質”這一內容。同時，我鼓勵學生把探索、分析的過程表達出來。經過歸納、總結可知，探索、分析“分數的基本性質”具體涉及四個方法：一是利用數量相等的關系計算頁數，二是通過分數與除法之間的聯系計算頁數，三是利用“商不變規律”計算頁數，四是利用分數的直觀圖形（見圖1）計算頁數。其三，歸納概括。一是引導學生從分數的概念理解“分數的基本性質”，最終讓學生達成這樣的認識：把一個整體平均分的份數乘以（或除以）幾，所取的份數也乘以（或除以）幾，所取的份數占整體的多少不變，也就是分數的大小不變。二是提供若干組例證（分數值相等），引導學生分析、識別它們的共性，最終歸納出“分數的基本性質”。三是采用典型反例，在差異對比中，使學生對某些容易忽視的要素有更清晰、深刻的認識。其四，總結拓展。我引導學生回顧課前做的游戲。當整數相等時，例如2=2，數字沒有變化。當小數相等時，例如2.0=2.00，0.4=0.40，0.5=0.50，數字有了變化。在小數的末尾添上（或去掉）“0”，小數的大小不變。當分數相等時，例如2/5=4/10，分子、分母不同的兩個分數，分數值相等?；仡櫿n前游戲旨在引導學生體會整數、小數和分數之間的區別與聯系。

二、“問題解決教學”中的變異策略

“圖形中的規律”是北師大版小學數學四年級下冊“認識方程”單元的后續學習內容。它是字母表示數的運用，不僅使學生體會代數的思想和意義，更使學生初步領略“問題解決教學”中的變異策略。“圖形中的規律”這一內容的教學重點是經歷探索圖形規律的過程，并將這個探索過程上升到策略的層面；它的教學難點是同一圖形具有不同的分割方式，并轉化為抽象的一般關系算式。

1.教學內容的分析

“圖形中的規律”這一內容探究的具體問題是：“用小棒做某種正多邊形的邊，若要擺出n個這種正多邊形相接為一排的圖形，且每兩個相鄰正多邊形有一條邊重合，需要多少根小棒？”也就是探討小棒根數與按這種方式排列的正多邊形個數n之間的關系。

該問題情景和解決方法主要包括三個變異維度。其一，圖形邊數的變式。例如，正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形和正六邊形等。一般選擇從簡單圖形正三角形或正四邊形開始探索。其二，圖形分割方式的變式。對于具有同樣排列方式的圖形，圖形分割的方式可以有多種，不同的分割方式體現不同的規律（關系算式）。例如，正三角形的排列主要有三種分割方式：一是把圖形看成是n個三角形組合在一起，其中有（n-1）條邊因重合而減去，所以小棒數=3n-（n-1）；二是將第一個三角形的三條邊分割出來，后面其余的三角形都看成是由兩根小棒構成，所以小棒數=3+2（n-1）；三是將第一個三角形最左邊的那條邊分割出來，其他的都看成是加上兩根小棒形成的三角形，那么小棒數=1+2n。其三，探索的路徑不同。主要有兩個：一是從一個三角形入手，隨著三角形個數的逐漸增多，尋找具有一般性的規律；二是從觀察由多個三角形構成的整體圖形入手，使學生在觀察和分析整體圖形的過程中發現小棒數與正三角形個數的關系。這一探索路徑有助于學生對圖形進行多樣的分割與組合，從而發現不同的關系算式，使學生體會同一問題的不同解決方法。

2.教學過程

針對“圖形中的規律”這一內容，如何在課堂教學中分析與研究呢？具體有四步。其一，在課堂教學中，我嘗試從觀察多個三角形排列構成的整體圖形入手，使學生在觀察和分析整體圖形中發現小棒數與正三角形個數的關系。這樣，學生不僅能體會同一問題的不同解決方法，更可通過操作和觀察找出其中的規律。其二，呈現不同的算式和相應圖形的分割方式，以使學生從圖形表征過渡到字母表征。其三，引導學生說出算式中各數的含義，以加強學生對算式的理解，為隨后發現規律、替換變量做好準備。其四，總結、歸納圖形的規律。讓學生明晰同一規律適用于不同的圖形，以使學生理解：在相似圖形中既有普遍規律，又有特殊規律；特殊規律適用于特殊問題的解決。

（作者單位：北京市海淀區亮甲店小學）

（責任編輯：梁金）