實施“變異理論”，完善教學設計

一、研究的緣起與目的

“組合圖形面積”這一內容旨在讓學生學會運用已學基本圖形面積公式和轉化方法求解組合圖形的面積，具體包括三個意義：其一，這一內容是對已學幾何知識的綜合運用；其二，這一內容為今后求解復雜和不規則圖形面積奠定基礎；其三，這一內容要求學生初步理解和掌握“轉化”的數學思想，并在組合圖形和基本圖形之間有效轉化。基于此，以“變異理論”為指導，在分析教學內容和學情的基礎上，厘清要點，設計、完善教學環節，并通過“審辨——變異”的變異圖式，最終突出教學重點和破解教學難點。

二、教學要點與學情分析

1.教學要點

“變異理論”強調，精細分析教學內容，厘清教學要點，根據需要學生審辨的內容，明確教學目標。針對“組合圖形面積”這一內容，其教學要點有三個。其一，“組合圖形面積”求解的基本思想是“轉化”，即將組合圖形轉化為基本圖形。其二，“有效轉化”包括“圖形有效”和“數據有效”。“圖形有效”即將組合圖形轉化為已知計算方法的基本圖形，具體方法包括：分割法、添補法和割補法。“數據有效”，即將組合圖形轉化為基本圖形后，無法有效解決問題，還需相應的數據支持計算。其三，“組合圖形面積”求解的方法多種多樣，有繁簡之分，這就需要分析和比較，最終選擇簡潔的計算方法。

2.學情分析

在教學“組合圖形面積”這一內容之前，教師應對學生進行前測，以了解他們是否具備必要的知識基礎。前測結果表明三點：其一，有75%的學生對梯形、平行四邊形等基本圖形面積公式基本掌握，并能正確運用；其二，有52%的學生在面積計算和單位轉化等方面仍有困難，使得解題的錯誤率較高；其三，有50%的學生能把簡單組合圖形轉化為基本圖形，并準確地計算出面積。

通過分析可知，在教學“組合圖形面積”這一內容時，其學情有四個特點：一是學生能在教師引導下，通過自主探索與合作交流的方式，探究多樣化的解題方法；二是對解題方法的歸類、分析與擇優，還須教師的進一步指點；三是學生對圖形的數據條件關注不夠，時常不顧數據而轉化圖形，最后導致無效轉化；四是學生不能靈活運用“轉化”思想。

三、教學過程與教學心得

“變異理論”強調，學生在掌握教學內容的要點時，須圍繞教學要點提供有序變異的學習情景。只有有序的變異，才能使教學要點成為學生關注的對象，才能達成審辨。有序變異的策略主要包括：“類比”“對比”“分離”與“融合”等。

1.教學過程

“組合圖形面積”這一內容的教學包括兩個教學環節：一是探索、歸納方法，二是運用方法與拓展。

（YDAcuXYHysSu52O0Dirw/omObuoeCLyc/a6iLctuYF0=1）探索歸納方法

在“探索歸納方法”這一教學環節，其教學過程分三步：一是通過“類合”策略，歸納組合圖形的含義；二是創設求解“組合圖形面積”的教學情景（小華家客廳地面要鋪木地板，請幫小華算出客廳的面積）。可先讓學生獨立思考，再進行全班交流；三是展示問題情景的有序變化，提出引導性問題，使學生逐步關注和理解不同要點——“轉化”思想、“轉化”方法、優選方法和“轉化”要素。

具體教學步驟分五個階段。其一，展示組合圖形，提出問題（這些圖形有什么共同特點），并進行全班交流，須明確審辨的關鍵屬性（組合圖形，即由基本圖形組成；其形狀各異）。在此，采用“變異理論”中“類合”（歸納）的策略。其二，小華家客廳的地面由若干組合圖形構成，解題思路是加輔助線，提出問題（為什么加這些輔助線，它們的作用是什么），并進行全班交流，須明確審辨的關鍵屬性（基本思路，即將組合圖形轉化為基本圖形；由于組合圖形不同，因此，所加輔助線不同）。在此，采用“變異理論”中“類合”（歸納）的策略。其三，要求學生采用多種方法添加輔助線，提出問題（這些添加輔助線的方法，其不同點和相同點分別是什么），并進行全班交流，須明晰審辨的關鍵屬性（“轉化”方法，即分割法、添補法和割補法；“轉化”方法因教學情景和圖形的不同而不同）。在此，采用“變異理論”中的“對比”和“類合”策略。其四，要求學生審視不同的添加輔助線的方法，提出問題（哪種添加輔助線的方法比較簡便），并進行全班交流，須明晰審辨的關鍵屬性（通過對比，選取最佳方法；“轉化”思想的運用以簡便為本）。在此，采用“變異理論”中的“對比”策略。其五，展示已添加輔助線的圖形，提出問題（為什么有些圖形添加的輔助線有效，有些圖形添加的輔助線無效）并進行全班交流，須明晰審辨的關鍵屬性（將組合圖形轉化為基本圖形，有效轉化的要素有兩個，即圖形有效和數據有效。只有將有效圖形和有效數據相結合，才能運用“轉化”思想有效解題）。在此，采用“變異理論”中的“對比”和“分離”策略。

（2）運用方法和拓展

在“運用方法和拓展”這一教學環節，通過從易到難的不同例題的練習、分析和交流，使學生掌握根據各種組合圖形的條件，有效添加輔助線，將組合圖形轉化為基本圖形，標出隱含數據，選擇計算方法，并進行正確解答。為了選擇典型變異的題目作為例題，教師可對各類相關問題進行分析，并仔細歸納它們的難度（其難度主要取決于四個因素：基本圖形的個數和形狀、是否已添加輔助線、數據是否隱含或需要推算以及是否涉及其他知識背景），這四個因素構成了主要的變異維度。因此，教師在設計例題時，應盡量兼顧各種主要的變異維度，使例題難度由簡到繁，逐漸加大，最終使學生在各種問題變式中審辨情景的變化和方法的變通。

2.教學心得

（1）靈活掌握

在教學了“組合圖形面積”這一內容后，一些學生傾向于把某個基本圖形（例如，梯形）當成組合圖形，采用“轉化”方法求解。此時，教師應引導學生采用基本圖形的相應公式（梯形的面積公式）求解。因此，教師應提醒學生在采用“轉化”方法解題之前，須先判定圖形的屬性，以靈活掌握所學知識。

（2）促進作用

運用“變異理論”對“組合圖形面積”這一內容的教學過程進行精細調整，對教學成效具有一定的促進作用。其一，使學生較好地掌握“轉化”方法，以確保大多數學生較好地解決中等難度的問題；其二，根據變異維度設計不同問題，使學生解決問題的靈活性和遷移性獲得較大提升。

（3）存在的問題

在運用“變異理論”指導“組合圖形面積”這一內容的教學中存在三個問題。其一，在將組合圖形轉化成基本圖形時，須考慮數據有效，應提醒學生避免完全憑借直覺分割圖形。其二，組合圖形的“轉化”仍有拓展空間。其三，涉及“組合圖形面積”這一內容的題目屬于綜合性較強的題目，計算錯誤成為不少學生存在的問題，因此，亟待彌補此薄弱環節。

（作者單位：1.北京海淀區六一小學 2.北京師范大學教育學部）

（責任編輯：梁金）