高中數學教學中排列組合的應對策略

黃秀芳

新課標下的高考，文科數學考以簡單計數為前提的古典概型和幾何概型，理科對排列組合不要求考小題，只能在隨機變量分布列的大題中用到排列組合的知識.而排列組合本身是高中數學的一個難點，這需要學生具有非常強悍的解析能力.本文總結多年高中數學教學的經驗，對高中數學里的排列組合問題的全面處理方法做研討，以便和同行商榷從而得到最好的應對策略.

一、 排列與組合的概念

1.排列的概念

排列概念：一般來講在a個元素里面，隨便選用b個元素，再依據指定的次序排成一列，這就叫做在a個元素里面，隨便選用b個元素組成一列.特別是當a=b時，這就叫做a個不同元素的全排列.

排列數概念：在a個元素中選用b個元素的一切排列的數目，這就叫做在a個元素里面選用b個元素的排列數.這里采用數學的符號Aba來表示.

2.組合的概念

組合概念：一般來講在a個元素不相同的元素當中，隨便選用b個元素組合成一組，這叫做a個不相同的元素中隨便選用b個元素的組合.

組合數概念：在a個元素不相同的元素中選用b個元素的一切組合的數目，這叫做在a個不相同的元素中選用出b個元素的組合數，這里使用數學的符號Cba來表示.

二、排列與組合的應用

使用排列：對于無條件限制的簡便排列問題，可以利用公式直接解答；像“用數字0，1，2可以組成多少個無重復數字的三位數？”這種有限制條件的排列問題，可以依照限制條件來使用“直接法”或是“間接法”進行解答.（2）組合方法的使用：對于無條件限制的簡便組合使用問題，就使用公式法直接解答；像“從12人中選5人，甲乙丙三人必須當選，有多少種選法？”這種有條件限制的組合問題，就可以依照指定的限制條件來使用“直接法”或是“間接法”解答.（3）整體的組合和排列：在整體的組合排列的問題上，主要是組合排列的混雜問題，解題之前要先處理組合的問題，然后才能研討排列的問題.在處理組合排列全面問題時，要注重以下兩點：第一點限制條件就是排列問題常常出現的出題方式：“不在”和“在”；“不相鄰”和“相鄰”.在處理客觀問題時必須是要有自己的解答思維和方法：碰到“相鄰”問題的時候，要經常使用捆綁法來解題，把題目當中的幾個元素當作一個元素，這也是處理相鄰問題的最好方法.而“不相鄰”的問題處理最常用的方式就是“插空法”.在處理“不在”和“在”的問題時，常常會碰到特別元素或是特別方位，但是常見的都是先對特別的元素進行排列.但是當題目里元素的排列次序有限制時，就必須把次序約束放在一旁，讓排列結束以后，再依照指定次序來求解得出結果.第二點限制條件的組合問題常常出現的命題方式：“不含”或“含”；“至多”或是“至少”.在處理實際題目時，要學會使用“間接法”或是“直接法”.

三、常見問題的應對策略

1.不相鄰的“插空法”

對于幾種不相鄰元素的排列問題，可以先排其他的元素，再把不相鄰的元素插在排好的元素當中.

例如，在校園文藝演出中有4個是朗誦隊，2個是舞蹈隊，3個是獨唱隊，如果舞蹈隊都不能靠著，那么這樣的節目實行的次序總共有幾種？

分析：一開始先排2個舞蹈隊和3個獨唱隊，有A55種排法，再在這些節目當中和兩邊的6個“空”中選4個讓舞蹈隊插進去，有A46種排法，根據分布計數原理一共有A55A46=43200種排法.

2.相鄰的“捆綁法”

對于無數個元素要求相鄰的排列，要先讓相鄰的幾個元素“捆綁”在一起，當作是一個整體的元素和剩下的元素進行排列，最后再讓組合元素當中的元素進行排列.

例如，書桌上擺著3本不相同的英語書，4本不相同的語文書，5本不相同的化學書，把這些都豎立起來排成一排，如果把相同類的書放在一起，一共有幾種排列方法？

分析：由于相同類的書放在一起，就把3本英語書，4本語文書和5本化學書都互相捆綁在一起，看作是3個整體進行排列有 A33種，每捆內部的排列分別有A44種， A55種，A33種，由分步計數原理一共有：A44A55A33A33=103680（種）.

3.巧用“轉換法”

對于一些不常見的問題，使用直接解答的方法一般很艱難，從正面著手處理會非常艱難，這時我們就從反面著手，把這種題轉化為一個最為簡便的問題來處理.

例如，用1到6這六個數字，把它們組合成大于200000而且在百位數是非3的不重復數字的六位數有幾個？

分析：一看到題目，瞬間沒有思路，但是仔細地一思考，要大于200000 實際上就是首位不是1的數字，因此，我們把問題看成“1”不在首位，“3”不在百位，分析下來，你就會讀懂了.這和曾經做過的“甲學生不做學習委員，乙學生不當班長”這個題不是很相似嗎？ 從例題那就能轉變成這題的做題方法，共有A55+A14A14A44= 504個.

4.分排問題“直排法”

把多個元素排列成前后的幾種排列問題，假設沒有什么條件來約束，那么就運用全體排成一行的方法來處理.

例如，有個班級有50個學生在10排位置上坐著，而每排有5個人，一共有多少種坐法？

分析：如果50位學生都能在10 排位置上隨便就坐，沒有條件約束，所以我們就把10排當作一個整體來理解，一共有A 種就坐方法.

當然，排列組合還有其他的應對方法：如分組分配問題，相同元素的隔板原理，元素交叉問題等.總而言之，排列組合在高中數學里不僅運用范圍廣泛，而且是學習統計學和概率學的基礎，由于這部分教學內容的思想方式多變且又靈活，所以排列組合的知識也是培養學生邏輯思維和抽象思維能力的較好的材料.