構造向量，探索最值問題求解新思路

駱秀金

向量進入中學數學是我國數學課程改革的一個重要內容，作為現代數學重要標志之一的向量引入中學數學，進一步發展和完善了中學數學的知識結構系.拓展了研究和解決數學問題的思維通道.應用向量求解最值問題，其實質就是根據問題的結構特征與向量不等式的結構特征的相似性，通過構造適當的向量解決問題.本文將立足于向量這一全新視角，探討運用向量知識求解最值問題.

一、運用a·b≤|a|·|b|或|a·b|≤|a||b|求解最值問題

對于任意兩個非零向量a，b.其數量積a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉，顯然有a·b≤|a||b|（當且僅當a，b同向時取“=”號），或|a·b|≤|a||b|（當且僅當a，b共線時取“=”號）.

例1求函數y=2x-1+5-2x（112

解析：函數y=2x-1+5-2x=1·2x-1+1·5-2x.由此聯想到不等式a·b≤|a||b|.構造向量a=（2x-1，5-2x），b=（1，1），則a·b=2x-1+5-2x，|a|=2，|b|=2.由不等式a·b≤|a||b|得y=2x-1+5-2x≤22.當112x-1=115-2x即x=312時取“=”號.所以ymax=22.

例2設0

解析：原函數變形為ysinx+cosx=2.由此式左邊聯想到不等式a·b≤|a||b|.構造向量a=（cosx，sinx），b=（1，y）.a·b=ysinx+cosx=2.由a·b≤|a||b|=1+y2得2≤1+y2.即y≥3或y≤-3（不合題意）. 當且僅當a，b共線時取“=”號.即cosx11=sinx1yy=sinx1cosx2-cosx1sinx=sinx1cosxcosx=112.所以x=π13.所以當x=π13時，ymin=3.

二、運用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求解最值問題

對于此不等式，應用向量加、減法的三角形法則容易獲證.用其求解最值問題的關鍵是不等式取“=”號的條件.

例3已知x，y是實數， 且x2+y2-4x-6y+12=0.求x2+y2的最值.

解析： 原方程可化為（x-2）2+（y-3）2=1.

目標代數式 x2+y2=[（x-2）+2]2+[（y-3）+3]2. 由此聯想到不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| .構造向量a=（x-2，y-3），b=（2，3），則|（x-2）2+（y-3）2-22+32|≤x2+y2≤（x-2）2+（y-3）2+22+32.

即|1-13|≤x2+y2≤1+13.所以14-213≤x2+y2≤14+213，

即（x2+y2）min=14-213，（x2+y2）max=14+213.

例4設a，b∈R+且a≠b.求函數y=asin2x+bcos2x+acos2x+bsin2x的最值.

解析：設m=（asinx，bcosx），n=（bsinx，acosx），

則|m|+|n|=asin2x+bcos2x+acos2x+bsin2x.|m+n|=（a+b）2sin2x+（a+b）2cos2x=a[KF）〗+b.

由于|m+n|≤|m|+|n|.所以y≥a+b.

當且僅當asinx1bsinx=bcosx1acosx，即a=b時取“=”號.所以ymin=a+b.設p=（asin2x+bcos2x，acos2x+bsin2x），q=（acos2x+bsin2x，asin2x+bcos2x），則|p|=|q|=a+b，p+q=（asin2x+bcos2x+acos2x+bsin2x）·（1，1）.所以|p+q|=（asin2x+bcos2x+acos2x+bsin2x）·2.

由于|p|+|q|≥|p+q|，所以y≤112（|p|+|q|）=2（a+b）.

當且僅當asin2x+bcos2x1acos2x+bsin2x=acos2x+bsin2x1asin2x+bcos2x，即|sinx|=|cosx|時取“=”號.所以ymax=2（a+b）.綜上可知，根據題設適當構造向量，應用向量不等式求解最值問題，思路清晰，方法簡捷巧妙.有規律可循，趣味性強.對培養學生的創造性思維大有益處.