一種基于解析規劃的多約束再入制導算法*

0 引言

亞軌道飛行器是指從地面發射，在完成發射任務后，重新返回地面的跨大氣層新型高超聲速飛行器。近年來，各國高超聲速運載器的發展步伐很快。其中，美國航天運輸和X系列試驗飛行器的研制[1－2]，俄羅斯可重復使用助推器研究[3]等都是發展的焦點。再入制導技術作為飛行器發展的關鍵技術之一，其任務是使飛行器能夠滿足各種過程約束及終端約束。目前，再入制導方法主要分為兩類:第一類是跟蹤預先設計參考剖面的標準軌道制導方法;第二類是利用預測能力對落點參數進行預測的預測制導方法[4]。

再入制導控制變量通常選擇為攻角和傾側角，并將攻角設計為隨速度變化的函數，傾側角作為主要的控制變量調整飛行軌跡。文獻[5]基于簡化動力學模型，利用平衡滑翔條件，提出了滿足各種過程約束和終端約束的解析形式傾側角指令。文獻[6]根據飛行器當前飛行狀態和終端條件，迭代計算能夠滿足終端約束的傾側角指令，并通過過載、熱流等約束對控制指令進行限制修正。文獻[7]采用擬平衡滑翔條件將再入走廊約束轉化為控制量約束，將參考軌跡的優化設計問題轉化為單參數搜索問題，提出基于H-V剖面的軌跡在線生成算法。

文中提出基于H-V剖面的改進再入制導方法，縱向和側向聯合設計，縱向設計H-V參考剖面，側向設計航向誤差走廊，采用反饋線性化方法跟蹤H-V剖面確定傾側角大小，同時根據航向誤差走廊確定傾側角符號，完成控制變量設計。

1 再入軌跡設計的數學模型

亞軌道飛行器再入過程為無動力滑翔，對于無動力再入軌跡設計及制導問題的研究，一般采用三自由度再入動力學模型[8]。

1.1 再入動力學方程

其中，動力學模型中有6個獨立狀態變量x=(r，λ，φ，V，θ，ψ)，分別為高度、經度、緯度、速度、速度傾角和航向角，速度傾角為速度矢量與當地水平面的夾角，向上為正，航向角為速度矢量在當地水平面內的投影與正北方向的夾角，順時針方向為正;L和D分別為升力和阻力加速度。控制量u=(α，σ)，攻角α為事先設計好的攻角－速度函數，因此傾側角σ是唯一的控制量。

1.2 再入過程約束和終端約束

再入過程通常考慮3個狀態過程約束和一個軌跡過程約束，將其描述為再入走廊，狀態約束包括最大駐點熱流、最大動壓和最大過載約束:

同時考慮到減小亞軌道飛行器再入返回時高度震蕩，增加平衡滑翔約束[9]:

再入終端約束是指飛行器滿足末端能量管理段(TAEM)的初始條件，能夠實現平穩著陸，其約束條件為:

其中，rf、Vf、Rf、ψf分別為飛行器再入終端高度、速度、剩余飛行距離和航向角，rTAEM、VTAEM、RTAEM、ψTAEM分別為末端能量管理段初始高度、速度、剩余飛行距離和航向角，Δr、ΔV、ΔR、Δψ 分別為末端能量管理段初始高度、速度、剩余飛行距離和航向角允許的最大誤差。

2 制導方案設計

2.1 基于H-V剖面的縱向參考軌跡規劃

縱向參考剖面設計包括初始下降段和過渡段，初始下降段采用常值傾側角飛行，保證飛行器能夠進入再入走廊，并完成平緩過渡;過渡段則根據過渡點參數和末端能量管理約束，在再入走廊內選擇優化的四次多項式，完成參考剖面描述，初始段和過渡段聯合設計，保證滿足終端約束。在再入過程中可以大致認為r=r0+H，且=，其中，r0為地球半徑，H為飛行器距地面高度，縱向軌跡設計的規劃流程圖如圖1所示。

2.1.1 初始下降段軌跡規劃

初始下降段的設計需要重點考慮駐點熱流約束[10]。該段采用常值傾側角飛行，傾側角過小可能導致再入軌跡出現跳躍，傾側角過大則可能超過駐點熱流約束，因此初始段應該選擇適當的傾側角，保證飛行器進入再入走廊。判斷初始下降段結束的條件是H-V剖面內軌跡指向TAEM初始點，即:

圖1 參考剖面規劃流程圖

其中，δ為一小常數，dH/dV為H-V剖面內當前時刻斜率，由式(16)計算得到:

軌跡滿足上式后則轉入過渡段，該點稱為過渡點。

2.1.2 過渡段軌跡規劃

過渡段剖面采用四次多項式來描述從過渡點到末端能量管理界面的參考軌跡，即:

其中，ki(i=0，1，2，3，4)為多項式系數。需要5組條件來求解，由于已知過渡點處(VT，HT)、(VT，(dH/dV)T)及 TAEM 界面條件(VTAEM，HTAEM)，因此只需再確定兩組參數。

考慮多項式在滿足初始及終端約束的同時，還需對飛行路徑進行約束，可取過渡點與終端點速度中間點M，即:

根據圖3再入走廊分析可知，隨著速度的降低，速度中點M處的主導約束為動壓，HM的選取應保證其軌跡在再入走廊內[10]，因此選取該點動壓滿足式(19)，即:

已知M點的速度及動壓，則可得到該點高度HM。

將式(17)在TAEM點處求一階和二階導數可得:

并將式(18)代入式(17)整理可得:

其中ΔH=HT－HTAEM，ΔV=VT－VTAEM，f'T=(dH/dV)T。

對式(16)微分可得:

其中，DV= ?D/?V，并且由式= － DVsinθ/hs－ 2D2/V及V·=－D－gsinθ得到，hs為標準大氣高度參數。

分析可知如果已知TAEM初始點的彈道傾角θTAEM和 σTAEM，即可解得(dH/dV)TAEM和(d2H/dV2)TAEM。并且為了滿足終端約束條件，σTAEM可取零。因此將式(16)和式(23)代入式(22)即可求得θTAEM，從而求得f'TAEM和f″TAEM，并進一步確定四次多項式系數，完成H-V參考剖面規劃。

定義Rtogo為飛行器到TAEM初始點的航程，并定義當前位置和目標點視線方向與速度矢量的夾角為Δψ，如圖2所示。

圖2 飛行器與目標點相對關系

當前縱向平面內，剩余航程變化率為:

將縱向平面的航程變化率投影到目標平面，可得到目標平面內的剩余航程變化率:

由于在控制橫向航程時，Δψ一般被限制在小角度范圍內，近似cosΔψ =1，則:

如果過渡段參考剖面確定，式(26)右端項均可得到，則沿著參考剖面積分可得到過渡段剩余航程，結合初始段航程，即可確定在該剖面下到TAEM初始點的總航程，即:

若該航程大于名義航程，則增大初始段的傾側角指令σ0，使過渡點高度HT下降，從而使整個參考剖面降低，通過增大阻力減小航程，相反則減小初始段傾側角指令σ0。通過不斷迭代計算，最終可得到滿足過程約束及終端高度、速度及航程約束的初始傾側角σ0和參考高度 －速度剖面。圖3給出了通過上述算法規劃得到的H-V參考剖面。

圖3 名義參考剖面

2.2 側向制導設計

通過縱向制導可以確定傾側角的大小，側向制導則采用航向誤差走廊確定傾側角的符號。定義航向角誤差Δψ為當前速度矢量與飛行器到目標點視線方向的夾角，即Δψ =ψ －ψLOS，其中:

則確定傾側角反轉邏輯為:

其中，ψthreshold為航向誤差門限值，通常設計為速度的分段線性函數，其選取原則為既要使再入軌跡滿足終端橫向位置和角度約束，又要保證滾轉反向不要過于頻繁，易于工程實現。

3 基于反饋線性化的參考軌跡跟蹤算法

飛行器再入動力學為非線性模型，其狀態量實時變化，對其參考軌跡跟蹤是一個非線性跟蹤控制問題。文中采用反饋線性化技術獲得自適應非線性跟蹤控制算法，完成參考剖面跟蹤，與傳統的非線性控制方法相比，該方法不再依賴系統運動的求解或穩定性分析，而只需確定系統的反饋形式，使得非線性系統的控制問題變得相對簡單。

根據再入動力學方程并忽略地球旋轉項影響，同時考慮縱向H-V剖面特性，選取控制輸入為u=cosσ，輸出為y=H，得到動力學模型為:

定義跟蹤誤差為當前飛行高度與參考飛行高度之差，即ΔH=H－Hr。并且為了使控制系統具備良好的性能指標，所期望跟蹤誤差是一個二階震蕩系統，即:

其中:ξ一般取為0.7，ω根據飛行器實際飛行能力確定。

對跟蹤誤差進行二次微分并結合式(31)可得:

根據式(30)和式(32)得到模型控制輸入為:

可以看出，控制輸入u是包含H、V、θ三個狀態變量的非線性輸入，通過反饋線性化處理將此非線性系統轉化成為二次積分環節。因此得到了基于反饋線性化方法的制導原理框圖，如圖4所示。

圖4 制導系統框圖

4 仿真分析

參考航天飛機的攻角方案特點，選擇初始攻角為38°;隨著速度降低，攻角切換為15°，對應飛行器的最大升阻比條件;末端為了滿足TAEM初始點要求，攻角比15°略小，則確定再入飛

行器的名義攻角方案如圖5所示。

選取飛行器名義再入初始條件為(H0，λ0，φ0，V0，θ0，ψ0)=(95km，0，0，2300m/s，0，0)， 終 端 條 件(HTAEM，VTAEM)=(30km，950m/s)，過程約束(Q·s，max，qmax，ny，max)=(250kW/m2，20kPa，4g)。并針對初始條件偏差和環境不確定性，考慮再入過程存在初始高度、初始速度以及大氣密度偏差影響，在名義條件上附加偏差狀態，進行多種偏差狀態的仿真驗證，確定多種狀態仿真條件如表1所示，并給出了偏差條件下的仿真結果。

圖5 名義攻角曲線

表1 仿真偏差參數表

圖6 高度－速度剖面

圖7 傾側角變化曲線

圖8 動壓變化曲線

圖9 過載變化曲線

從圖6～圖9可以看出，文中提出的再入制導算法在存在初始條件偏差和環境不確定性條件下能夠滿足終端條件和過程約束，高精度的完成再入段飛行，具備較強魯棒性。

5 結論

文中提出了基于解析規劃的多約束再入制導算法，通過縱、側向的聯合設計，生成滿足熱流、動壓、過載等過程約束和終端高度、速度、航程、航向等終端約束的參考剖面，并利用反饋線性化完成軌跡跟蹤。仿真結果表明，該方法能夠適應大范圍飛行空域和速度的變化，具備一定工程應用價值。

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