利用Vondrak平滑處理PPP時(shí)間傳遞的隨機(jī)噪聲

雷 雨，趙丹寧

（1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，陜西 西安 710600；2.中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710600；3.中國(guó)科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時(shí)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710600；4.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京 100039）

GPS精密單點(diǎn)定位（Precise Point Positioning，PPP）時(shí)間傳遞就是利用國(guó)際GNSS服務(wù)IGS（International GNSS Service）提供的精密星歷與鐘差產(chǎn)品，對(duì)單臺(tái)測(cè)地型時(shí)間傳遞接收機(jī)接收的雙頻載波相位、碼觀測(cè)量進(jìn)行解算，獲得本地鐘與IGS時(shí)間尺度（IGST）的差值，兩個(gè)測(cè)站再通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的差分運(yùn)算便可實(shí)現(xiàn)納秒至亞納秒級(jí)精度的時(shí)間比對(duì)［1］。與傳統(tǒng)的GPS CV（Common View）方法相比，PPP的優(yōu)點(diǎn)是測(cè)站不受地理位置的限制，它允許任何裝備測(cè)地型時(shí)間傳遞接收機(jī)的時(shí)間實(shí)驗(yàn)室參加國(guó)際原子時(shí)TAI（International Atomic Time）的計(jì)算。鑒于該方法廣泛的適用性以及高傳遞性能，國(guó)際計(jì)量局BIPM（Bureau International des Poids et Mesures）于2009年9月將該技術(shù)用于國(guó)際原子時(shí)TAI（International Atomic Time）計(jì)算［2］，并定期發(fā)布于時(shí)間比對(duì)鏈路的FTP數(shù)據(jù)庫(kù)ftp：//tai.bipm.org/TimeLink/TAIPPP/。

盡管PPP采用了各種精確的誤差改正模型［3］，但解算的鐘差值仍受到未模型化誤差的影響，另外原子頻標(biāo)本身也受到各種噪聲的影響［4］，兩者均表現(xiàn)出隨機(jī)噪聲的特性，因此，對(duì)鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑濾波以消除它們的影響是時(shí)間傳遞中一項(xiàng)重要的工作［5］。因?yàn)閮膳_(tái)鐘比對(duì)結(jié)果的擬合函數(shù)形式難以確定，所以使用曲線擬合或滑動(dòng)平均等方法無(wú)法取得良好效果。由于Vondrak平滑方法可以在觀測(cè)資料擬合函數(shù)形式未知的情形下，也能有效地進(jìn)行平滑［6］，因此，在GPS CV和TWSTFT（Two Way Satellite Time and Frequency Transfer）中經(jīng)常使用該方法平滑比對(duì)結(jié)果［7－8］。Vondrak平滑法的關(guān)鍵在于平滑因子的選取［9］。本文將Vondrak平滑法應(yīng)用于PPP時(shí)間傳遞數(shù)據(jù)的平滑中，利用觀測(cè)誤差法選取合理的平滑因子，并對(duì)實(shí)測(cè)的鐘差比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，從精確度和穩(wěn)定度兩方面衡量平滑效果。

1 Vondrak平滑方法

1.1 基本原理

設(shè)有觀測(cè)資料x(chóng)（ti）（i＝1～N），Vondrak平滑的基本準(zhǔn)則為

其中：

式中：x′（ti）為待求的平滑值，pi為觀測(cè)值x（ti）的權(quán)重。F為Vondrak平滑法的擬合度，S表示對(duì)平滑值三階差分平方和的要求，它反映待求平滑曲線總體平滑程度，故稱(chēng)為平滑度。λ2為待定的正系數(shù)，它在平滑過(guò)程中調(diào)整著擬合度與平滑度之間的關(guān)系，在0和∞兩個(gè)極端邊界值之間取值。當(dāng)λ2→0，要使式（1）取最小，必須使F→0，此時(shí)得到的是一條逼近測(cè)量數(shù)據(jù)的光滑曲線；相反，當(dāng)λ2→∞時(shí)，若使式（1）達(dá)最小值，必須讓S→0，這時(shí)對(duì)應(yīng)的是一條十分光滑的拋物線。由此可知，Vondrak平滑法就是尋求介于對(duì)觀測(cè)值絕對(duì)擬合與絕對(duì)平滑之間的一條折中的曲線，折中的程度由平滑因子ε＝1/λ2控制。

1.2 平滑因子選取

Vondrak平滑法的關(guān)鍵在于如何選取合適的平滑因子，它的大小決定了平滑程度的強(qiáng)弱，ε值越小，平滑度越強(qiáng)，相反地，ε值越大，平滑度越弱。目前，常用的選取ε的方法有交叉檢驗(yàn)法［10］、頻率響應(yīng)法和觀測(cè)誤差法［11］，本文使用觀測(cè)誤差法來(lái)選取ε。

首先，用不同的平滑因子對(duì)觀測(cè)資料x(chóng)（ti）進(jìn)行Vondrak平滑，得到對(duì)應(yīng)的平滑值x′（ti），由式（4）計(jì)算出平滑值的均方誤差

對(duì)一系列的σ（ε），選取使σ（ε）≈σm的平滑因子作為最后確定的平滑因子，其中σm代表觀測(cè)資料誤差。

然而，該方法在觀測(cè)資料精度未知的情況下無(wú)法使用。一種辦法是根據(jù)均方誤差σ（ε）隨平滑因子ε的變化規(guī)律來(lái)選取對(duì)應(yīng)的ε值，即按式（4）計(jì)算出對(duì)應(yīng)不同ε的平滑值的σ（ε），以ε為橫坐標(biāo)，σ（ε）為縱坐標(biāo)繪出σ（ε）的曲線圖，觀測(cè)σ（ε）曲線的變化規(guī)律，選取σ（ε）變化最緩慢時(shí)所對(duì)應(yīng)的ε作為最終選取的平滑因子。

2 實(shí)例分析

2.1 平滑因子選取實(shí)例

采用NTSC（中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心）與PTB（德國(guó)技術(shù)物理研究所）、KRISS（韓國(guó)標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)研究院）兩條鏈路之間的PPP時(shí)間傳遞結(jié)果，數(shù)據(jù)從BIPM ftp下載，時(shí)間跨度為2011－10－28（MJD 55862）至2011－11－11（MJD 55876）。采用觀測(cè)誤差法，通過(guò)分析比較選出較為合理的平滑因子。圖1、圖2分別為根據(jù)觀測(cè)誤差法對(duì)PTB－NTSC與KRISS－NTSC結(jié)果計(jì)算得到的σ（ε）值與ε的對(duì)應(yīng)情況。

圖1 根據(jù)PTB－NTSC鏈路得到σ（ε）的變化曲線

圖2 根據(jù)KRISS－NTSC鏈路得到σ（ε）的變化曲線

從圖中可以看出，當(dāng)ε取500～600時(shí)，σ（ε）的變化較為緩慢，因此取ε＝550。

2.2 平滑結(jié)果

為了檢驗(yàn)Vondrak平滑效果，仍選取2.1節(jié)的數(shù)據(jù)做實(shí)驗(yàn)，從精確度和穩(wěn)定度兩個(gè)方面衡量平滑效果。

2.2.1 精確度分析

取平滑因子ε＝550，利用Vondrak平滑法對(duì)上述兩條鏈路PPP時(shí)間傳遞系列平滑，原始值和平滑值（為了清楚表示消噪前后的區(qū)別，平滑結(jié)果下移了5ns）的比較如圖3、圖4所示，圖5、圖6給出了局部放大的平滑比較結(jié)果。RMS統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

圖3 PTB－NTSC鏈路比對(duì)結(jié)果平滑比較

圖4 KRISS－NTSC鏈路比對(duì)結(jié)果平滑比較

圖5 PTB－NTSC鏈路比對(duì)結(jié)果平滑局部放大圖

圖6 KRISS－NTSC鏈路比對(duì)結(jié)果平滑局部放大圖

表1 兩條鏈路平滑前后精確度對(duì)照 ns

結(jié)合圖3～6和表1可以看出，對(duì)于變化復(fù)雜無(wú)規(guī)律的PTB－NTSC、KRISS－NTSC比對(duì)序列，平滑濾除了比對(duì)結(jié)果中的隨機(jī)噪聲，比對(duì)精度有所提高。

2.2.2 穩(wěn)定度分析

采用式（5）表達(dá)的重疊阿倫方差（Overlapping Allan Variance）來(lái)估計(jì)PPP時(shí)間傳遞結(jié)果所體現(xiàn)的頻率穩(wěn)定度

式中：xi為第i個(gè)測(cè)量結(jié)果（樣本），N為樣本總數(shù)，τ0為樣本采樣間隔，τ為計(jì)算阿倫方差的采樣時(shí)間，τ＝nτ0。

根據(jù)式（5），分別計(jì)算上述兩條鏈路比對(duì)結(jié)果平滑前后的穩(wěn)定度，結(jié)果如表2所示。

表2 兩條鏈路平滑前后穩(wěn)定度對(duì)照

由表2可見(jiàn)，Vondrak平滑對(duì)PTB－NTSC、KRISS－NTSC鏈路1～24h的穩(wěn)定度有較明顯的改善。

3 結(jié) 論

Vondrak平滑法可以在擬合函數(shù)形式未知的情況下對(duì)觀測(cè)資料進(jìn)行平滑，其平滑程度取決于平滑因子的選取，因此，平滑因子的選取是Vondrak平滑法的關(guān)鍵。利用觀測(cè)誤差法，選取了較為合理的平滑因子。

通過(guò)Vondrak平滑法對(duì)不同時(shí)間實(shí)驗(yàn)室之間的精密單點(diǎn)定位（PPP）時(shí)間傳遞結(jié)果進(jìn)行平滑處理，驗(yàn)證了Vondrak平滑法的有效性，主要得到以下結(jié)論：

1）Vondrak平滑法可有效消除PPP傳遞結(jié)果中的隨機(jī)噪聲，不僅可以提高時(shí)間傳遞的精確度，也能明顯改善PPP傳遞所體現(xiàn)的頻率穩(wěn)定度；

2）利用觀測(cè)誤差法選取平滑因子簡(jiǎn)單直觀，即使在觀測(cè)資料精度未知的情況下也是適用的，但平滑因子的確定還要結(jié)合數(shù)據(jù)處理經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際情況綜合予以考慮。

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