基于單頻GPS精密單點定位算法研究

陳 蕾，許文桓

（國核電力規劃設計研究院重慶有限公司，重慶 401121）

隨著人們對GPS定位精度要求的不斷提高，國內外學者已經給出了一些可能的靜動態的精密單點定位模型［1－4］，在這些定位模型中，為了減少觀測誤差和噪聲，消除電離層誤差的偽距和載波相位組合等方法經常用到，然而，這種方法不能保證載波相位的整周模糊度的整數性，這就降低了定位精度，而且這種算法只限于雙頻GPS。

本文提出了一種針對廉價的單頻GPS接收機新的精密單點定位算法，這種算法不需要偽距和載波相位觀測量的線性組合，這樣就保持了整周模糊度的整數性，提高了定位精度。在這個算法中，L1載波和基于C/A碼的偽距用新的GPS回歸方程和回歸矩陣進行描述，這些回歸方程和回歸矩陣作為單頻精密單點定位的觀測模型。由電離層延遲、對流層延遲、衛星軌道誤差、衛星鐘誤差和接收機鐘差引起的載波相位和基于C/A碼的偽距誤差，利用合適的誤差模型嵌入到回歸方程中，用最小二乘估計所有的未知參數，在估計的過程中，考慮觀測噪聲的隨機屬性，提高參數估計的可靠性和縮短收斂時間。此外，由于每一歷元的觀測數據都可以連續得到，這樣就可以應用卡爾曼濾波得到單頻精密單點定位回歸方程。

1 算法模型

1.1 單頻精密單點定位回歸方程

將L1載波相位和基于C/A碼的觀測定位數據公式［5－9］化為

式中：u≡［xu，yu，zu］T為測站位置坐標向量；sp≡［xp，yp，zp］T為衛星P的坐標向量（t）為t時刻測站u到衛星P的偽距；（t）為t時刻L1載波的相位觀測值；τpu為測站u到衛星P的信號傳播時間；λ1：L1載波的波長，數值為0.190 3m；δIpu（t）、δTpu（t）為電離層、對流層延遲誤差；δtu（t）、δtp（tτpu）為接收機在t時刻和衛星在t－τpu時刻的鐘差；為L1載波的整周模糊度；為測量誤差；rpu（t，t－τpu）為t時刻測站到t－τpu時刻衛星P的幾何距離。

為了方便表示將

式中，衛星坐標xp，yp，zp可以通過導航電文得到，但包含有軌道誤差，本文通過衛星精密星歷軌道化消除了軌道誤差，達到了精密定位的精度。定義＾sp為已經計算出來的衛星的精確坐標，下面為了算法的簡捷敘述將t，t－τpu省略。

由導數關系可以得到

將式（3）在u＝，（j＝1），sp＝＾sp進行一階泰勒展開為

這樣式（1）和式（2）轉變為

式中：

將式（6）和式（7）用向量矩陣表示為

式中：

υu≡［，］T，I定 義為ns×ns單 位 矩陣，0定義為［1，1，…，1］T的ns×1向量。

為了得到θu的最小二乘估計，下面考慮未知參數和回歸方程的個數，從上述可以看出未知變量有4＋7ns個，即u：3，cδtu：1，s：3ns，cδts：ns，δIu：ns，δTu：ns，NL1，u：ns，而回歸方程個數為2ns，這樣就得不到θu的最小二乘解。如果已經計算出了衛星的位置坐標s，衛星鐘差cδts，電離層改正和對流層改正δIu，δTu。可得

此方程即為單頻GPS精密單點定位的觀測模型。式中：

在這種情況下，回歸方程的個數為8ns，當ns≥4，8ns≥4＋7ns，這樣就可以計算出未知參數的準確值。當ns＜4時，系數矩陣H＾u（j），E是奇異的，這時不能夠得到θ的確切值。

對于式（10）來說，θu的最小二乘估計值是這樣得到的［10－11］：

式中：R≡Cov［υu，E］，其誤差方差為

1.2 卡爾曼濾波應用于單頻精密單點定位

1.2.1 卡爾曼濾波的觀測方程

由式（10）可得

式（13）即為卡爾曼濾波的觀測方程。

1.2.2 狀態向量

在靜態定位時，點位的三維坐標、接收機鐘差和模糊度是必須要估計的，因此，定義靜態位置狀態向量

動態定位時，需要運動物體的數學模型，將接收機的速度假定為一階馬爾可夫過程［12－13］，因此，定義動態向量

對于這2種情況，接收機鐘差cδtu也假定為一階馬爾可夫過程，可以得出下面的狀態方程：

式中，狀態轉移矩陣為

式中：I為3×3階單位矩陣，D為n維對角矩陣，對角元素取值為（2n－1）/（2n＋1），n＝100，Φck＋1，k＝為采樣率。

式中：F為n維對角矩陣，對角元素為：2n/（2n＋1），n＝100。w為系統噪聲，系統噪聲協方差矩陣為

式中：Sdt，S˙dt參考Allan協方差參數［14］，Qξ為n維對角矩陣，對角元素取值為0.3P，P為用戶量程精度，可以從衛星星歷中求取。從式（13）和式（16）可見，觀測方程可以表示為

誤差

其協方差矩陣

式中：P（t｜t－1）是濾波過程中η（t｜t－1）的方差矩陣，一般情況下v（t）是均值為0，方差為M（t）的白高斯噪聲［11］。

2 算例分析

實驗采用本文提出的單頻精密單點定位模型，GPS定位的所有誤差都必須考慮，主要通過2種途徑來解決：①對能精確模型化的誤差采用模型改正，如地球旋轉改正、相對論效應等都可以采用現有的模型精密改正。②對于不能精確模型化的誤差以參數形式進行估計，比如電離層延遲改正，目前還難以用模型精確模擬，則以參數對其進行估計。用載波相位變化率和切比雪夫多項式探測與修復周跳，用IGS網站提供的精密星歷對衛星軌道和衛星鐘差進行擬合求值。

實驗用卡爾曼濾波對動態數據進行精密單點定位，采用數據為2008－03－11的觀測數據，采樣率為1s，觀測時衛星數目都在6～8顆，衛星截止高度角為10°，采用事后處理方式，實驗點的精確坐標前文已經敘述由差分載波相位模型精確得出。得到的單頻精密單點定位結果與實驗點的精確坐標進行對比，X，Y，Z坐標差如圖1、圖2、圖3所示，觀測值均方根差隨歷元變化，如圖4所示。

圖1 單頻精密單點定位結果X方向與真值差值圖

3 結 論

從上述圖中可以看出在Z方向比在水平X，Y方向有較大的偏差，Z方向收斂的時間大于水平方向。對于所有的數據單頻GPS精密單點定位能夠得到比較高的精度，而且定位結果比較穩定，在X方向的偏差小于50cm，在Y方向的偏差小于70cm，在Z方向的偏差小于1m，均方根在30～38cm之間。

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