相對論諧振子解析逼近解的構造

孟艷平, 孫維鵬, 張皆杰

(1. 長春工程學院 機電學院, 長春 130012； 2. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

(1)

(2)

(3)

把方程(3)代入方程(1), 得

(4)

不失一般性, 考慮如下初始條件:

(5)

(6)

1 問題求解

(7)

fu(u)=[1-f2(u)]3/2,

(8)

積分式(8), 得

(9)

因而, 對應的關于u的非線性振動方程為

(10)

引入一個新的獨立變量τ=ωt, 則方程(10)可以改寫成如下形式:

Ω(1+u2)u″2-u2=0,u(0)=A,u′(0)=0,

(11)

(12)

利用單項諧波平衡法, 取滿足方程(12)的初始逼近為

u1(τ)=Acosτ.

(13)

先將方程(13)代入方程(12), 再將結果方程展為Fourier級數, 并令常數項為零, 得

(14)

于是, 得到了方程(11)的第一個解析逼近周期和周期解:

(15)

下面結合牛頓方法和諧波平衡法建立方程(11)的第二個解析逼近解. 首先, 由牛頓方法, 方程(11)的周期解u(τ)和頻率的四次方Ω(A)可表示為

u=u1+Δu1,Ω=Ω1+ΔΩ1.

(16)

把式(16)代入方程(11), 再將結果方程關于Δu1和ΔΩ1線性化, 得

(17)

式中: Δu1是一個關于τ的周期為2π的周期函數, 待求的Δu1和ΔΩ1可由諧波平衡法確定.

為了獲得第二個解析逼近解, 可令滿足方程(17)中初條件的Δu1(τ)為

Δu1(τ)=r1(cosτ-cos 3τ).

(18)

將式(18)代入方程(17), 再把結果方程展開為Fourier級數, 并令常數項和cos 2τ項的系數分別為零, 有

8A(Ω1-1-Ω1A2)r1+A2(4+3A2)ΔΩ1=0,

A4Ω1-4AΩ1(16+11A2)r1+4A2(1+A2)ΔΩ1=0.

(19)

解關于r1和ΔΩ1的線性代數方程組(19), 得

(20)

因此, 得到了方程(11)的第二個解析逼近周期和周期解：

u2(τ)=u1(τ)+Δu1(τ)=X(A)cosτ+Y(A)cos 3τ,

(21)

式中:

基于方程(11)的第二個逼近解, 方程(11)的周期解u(τ)和頻率的四次方Ω(A)可以進一步表示為

u=u2+Δu2,Ω=Ω2+ΔΩ2.

(22)

把方程(22)代入方程(11), 再將結果方程關于Δu2和ΔΩ2線性化, 得

(23)

式中, Δu2是一個關于τ的周期為2π的周期函數, 待求的Δu2和ΔΩ2仍然可由諧波平衡法確定. 為了獲得第三個解析逼近解, 可令滿足方程(23)中初條件的Δu2(τ)為

Δu2(τ)=z1(cosτ-cos 3τ)+z2(cos 3τ-cos 5τ).

(24)

將式(24)代入方程(23), 再把結果方程展開為Fourier級數, 并令常數項、 cos 2τ和cos 4τ的系數分別為零, 則z1,z2和ΔΩ2的關系分別為

g1(Ω2,A)z1+g2(Ω2,A)z2+g3(Ω2,A)ΔΩ2=g4(Ω2,A),

(25)a

h1(Ω2,A)z1+h2(Ω2,A)z2+h3(Ω2,A)ΔΩ2=h4(Ω2,A),

(25)b

m1(Ω2,A)z1+m2(Ω2,A)z2+m3(Ω2,A)ΔΩ2=m4(Ω2,A),

(25)c

其中:

因此, 方程(11)的第三個解析逼近周期和周期解為

u3(τ)=(A+r1+z1)cosτ+(-r1-z1+z2)cos 3τ-z2cos 5τ,

(26)

其中:

重復上述過程, 可以建立更高階的解析逼近周期和周期解.

2 結果與討論

對方程(11), Mickens[3]利用單項諧波平衡法得到了如下解析逼近解：

(27)

由于Mickens在計算中忽略了一個三角函數公因子, 因此使得式(27)給出的逼近頻率與式(15)不同.利用LHB方法[4]直接求解方程(10), Beléndez等[7]得到了兩個解析逼近頻率ωB1和ωB2. 由于這些解是振幅的隱式函數, 因此通常以橢圓積分的形式表達. 對方程(11)變形, 應用NHB方法[8-9], Beléndez等[10]得到了兩個解析逼近周期和相應的周期解: 第一個解析逼近周期TB1與本文結果(15)相同; 第二個解析逼近周期TB2為

(28)

Beléndez等給出的第二個解析逼近頻率(28)與本文結果式(21)不同, 是因為前者利用NHB方法時是對頻率平方進行線性化, 而不是頻率的四次方.

對于非線性振子(10), 它的精確周期可表示為

(29)

為了比較各解析逼近周期解TM(式(27)),T1(TB1)(式(15)),TB2(式(28)),T2(式(21))和T3(式(26)), 將它們與精確周期Te(式(29))的比值列于表1.

表1 各解析逼近周期與精確周期的比較

進一步, 有

(30)

由表1和式(30)可見, 本文給出的解析逼近解在振幅A全部取值范圍內都有較高的逼近精度, 特別是第三個解析逼近周期T3(式(26))的最大相對誤差小于0.22%. 解析逼近周期TB2(式(28))與T2(式(21))對應的周期解具有相同諧波子cosτ和cos 3τ, 且后者的精度高于前者.

當A=1,4,10時, 精確周期解xe(t)(數值積分方程(6))和各解析逼近周期解x1(t)(式(15)),x2(t)(式(21))和x3(t)(式(26))在一個周期內的變化曲線分別如圖1～圖3所示. 由圖1～圖3可見, 解析逼近周期解x2(t)和x3(t)具有很高的逼近精度. 一般地, 本文得到的第一個解析逼近周期解x1(t)也可以接受.

圖1 當A=1時各解析逼近周期解 與精確解的比較Fig.1 Comparison of approximate periodic solutions with exact solution for A=1

圖2 當A=4時各解析逼近周期解 與精確解的比較Fig.2 Comparison of approximate periodic solutions with exact solution for A=4

圖3 當A=10時各解析逼近周期解與精確解的比較Fig.3 Comparison of approximate periodic solutions with exact solution for A=10

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