非線性擾動薛定諤耦合系統的沖擊波解

徐 惠, 許永紅, 劉曉偉, 溫朝暉

(1. 安徽財經大學 統計與應用數學學院, 安徽 蚌埠 233030; 2. 蚌埠學院 數理系, 安徽 蚌埠 233030)

沖擊波理論在量子物理、 光學、 流體力學等領域應用廣泛, 目前已有很多研究結果[1-4]. 其中, 使用漸近方法求解沖擊波是一種較新的方法, 它改變了以往單純用數值模擬討論沖擊波的性態, 而是通過解析理論得到沖擊波的近似表達式. 其優點在于可以通過漸近表達式進一步用解析運算工具對沖擊波性態進行更深入的研究[5-7]. 近年來, 許多漸近方法不斷被改進[8-10]. 文獻[11-17]應用漸近方法討論了一類非線性問題. 本文用一種改進的漸近方法討論一類非線性擾動Schr?dinger耦合系統, 并得到了對應沖擊波的近似解. 考慮如下非線性擾動Schr?dinger耦合系統:

其中:u(x,t),v(x,t)為對應系統的物理場函數;a為正參數;f,g為擾動項, 是在相應的變化范圍內充分光滑的有界函數. 系統(1)-(2)描述了一類光導纖維等方面的沖擊波傳播系統[18]. 本文用一個簡單的方法得到了系統(1)-(2)的漸近解.

先考慮如下典型的Schr?dinger耦合系統:

引入行波變換ξ=x+ct, 其中c為波速. 利用G′/G方法[18]可得系統(3)-(4)具有如下的精確沖擊波解:

其中:σ>0為常數;Ci(i=1,2)為任意常數;

(7)

1 擾動Schr?dinger耦合系統的近似解

由于非線性耦合系統(1)-(2)一般不能得到初等函數形式的精確解, 因此為了得到擾動Schr?dinger耦合系統(1)-(2)沖擊波解的近似表示式, 先引入泛函[6]:

(8)

(9)

(10)

由式(9),(10), 有解

(11)

于是, 由式(8),(11), 可構造求解u(x,t)的迭代式:

(12)

再由式(2), 可構造求解v(x,t)的迭代式:

(13)

由式(5),(6), 選取初始迭代u0(x,t),v0(x,t)為

(14)

從而, 由式(12),(13)和式(5),(6),(14), 可得系統(1)-(2)的一次近似解:

2 應用實例

為簡單, 考慮一個特殊的擾動Schr?dinger耦合系統, 其擾動項為f(u,v)=εsinu,g(u,v)=εcosv, 其中ε為小參數. 此時系統(1)-(2)為

由式(5),(6),(14), 選取初始近似u0(x,t),v0(x,t)為

其中B(x,t)由式(7)表示.

由式(12),(13)和式(17),(18), 可得系統(15)-(16)的一次近似解和二次近似解:

繼續利用同樣的方法可得擾動Schr?dinger耦合系統(15)-(16)的更高次近似的沖擊波解un app(x,t),vn app(x,t)(n=3,4,…). 也可證明非線性擾動Schr?dinger耦合系統(15)-(16)的沖擊波解有如下估計式[19]:u(x,t)=un app(x,t)+O(εn+1),v(x,t)=vn app(x,t)+O(εn+1), 0<ε?1. 因此, 利用本文提出的漸近方法得到的沖擊波近似解具有較好的精確度.

綜上所述, 由于沖擊波理論來源于一類復雜的自然現象, 因此需要簡化它為基本模型. 本文利用變分迭代理論用一個簡單而有效的方法得到了非線性擾動Schr?dinger耦合系統的沖擊波漸近解. 由漸近方法求解模型的近似解, 不同于單純模擬得到的數值解. 由于漸近解具有解析形式的結構, 因此它還可以進行微分、 積分等解析運算, 從而進一步了解相應沖擊波解的更深層性態.

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