具年齡和加權的半線性種群系統的最優邊界控制

付 軍, 朱 宏

(1. 吉林師范大學 數學學院, 吉林 四平 136000； 2. 吉林師范大學 計算機學院, 吉林 四平 136000)

0 引言及預備知識

目前, 關于生物種群系統最優控制問題的研究已取得許多成果. 例如: 文獻[1]討論了一類時變種群系統的最優邊界控制問題； 文獻[2]應用懲罰移位法研究了其最優邊界控制的計算； 文獻[3]討論了具最終狀態觀測的時變種群系統的最優邊界控制問題； 文獻[4]針對生育率和死亡率均依賴于個體年齡的情形, 提出了具有加權規模的數學模型, 并討論了其最優收獲問題； 文獻[5]研究了具有年齡分布和加權的非線性種群系統的最優分布控制問題. 本文進一步討論如下具年齡和加權的半線性種群系統(P):

的最優邊界控制問題, 其中:p(r,t)表示時刻t、 年齡為r的單種群密度；p0(r)表示t=0時種群的年齡密度初始分布； 常數T表示生物種群的控制周期；f表示時刻t、 年齡為r的種群系統的外界擾動函數；S(t)表示時刻t種群的加權總量；ω為權函數；u為控制變量；β和μ分別為生物種群的出生率和死亡率, 這里μ和β均與權函數ω有關, 體現了加權總規模對種群動態過程的影響, 因而, 更具有實際意義;A表示種群個體能活到的最高年齡,r∈(0,A), 0

p(r,t)=0,r≥A.

(5)

由于狀態方程(1)-(4)的解依賴于u, 所以記為p(r,t;u)或簡記為p(u), 人們希望通過控制函數u(t), 使系統(P)的狀態更接近種群密度的理想狀態zd(r,t). 為此, 引入如下性能指標泛函:

(6)

假設如下條件成立：

(H1)g,h:R→R+為凸函數,g,h∈C(R+)且g′,h′有界;

0≤μ(r,t;y),β(r,t;y),μy(r,t;y),βy(r,t;y),μyy(r,t;y),βyy(r,t;y)≤G;

(H4)ω∈L∞(Q), ?(r,t)∈Q, 0≤ω(r,t)≤G3.

(7)

例如:

<+∞, a.e于(0,T)內}

(8)

是L2(0,T)的非空閉凸子集. 不失一般性, 假設Uad由式(8)確定.

定義1函數p∈L2(Q)稱為問題(1)-(4)的弱解, 若?φ∈Φ0, 滿足

其中

(10)

引理1[6]若條件(H1)～(H4)成立, 則系統(P)有唯一解p∈C([0,T];L1(Ω)).

定理1[7]若條件(H1)～(H4)成立, 則系統(P)的C([0,T];L1(Ω))解屬于L2(Q)解, 即p∈L2([0,T];L2(0,A))=L2(Q).

證明: 任取v∈Uad,p(v)∈Φ1={φφ∈C([0,T];L1(Ω)),φ(A,t)=φ(0,t)=0}, 用p(v)乘以方程(1)兩邊, 并在(0,A)上積分, 有

(11)

對式(11)的第一項、 第二項分別利用分部積分法, 并注意到μ(S)的非負性及式(5), 得

(12)

將式(12)兩邊關于τ在(0,t)上積分,t∈(0,T), 有

(13)

將式(13)右邊的第一項運用H?lder不等式, 并由式(2)及假設(H2), 可得

(14)

將式(14)代入式(13), 得

其中C3是與p無關的常數, 即p(r,t)∈L2([0,T];L2(0,A))=L2(Q).

1 最優邊界控制的存在性

運用定理1的證明方法, 可得：

引理3設(H1)～(H4)成立, 則系統(P)的解p(v)∈L2(Q)關于v是連續的.

證明: 設

(16)

由假設條件(H4)可知0≤J(u)<+∞, 則d∈[0,+∞). 取{vn}?Uad, 使得

(17)

由引理2知, 存在{pvn}的子列{pn}, 滿足

(18)

其中{vi}?{vn},i=n+1,…,kn, 使得

在L2(Q)中.

(19)

由式(8)知, {vn}在L2(0,T)中一致有界,

在L2(0,T)中.

(20)

在L2(0,T)中.

(21)

令

(22)

(28)

2) 對式(27)左邊第二項, 當n→+∞,i→+∞時, 有

(29)

事實上, 有

3) 對式(27)右邊第一項, 當n→+∞,i→+∞時, 有

(30)

事實上, 與式(27)的證明類似, 可以證明

4) 對式(27)右邊第二項, 當n→+∞時, 有

(31)

事實上, 有

在式(27)中, 令i→∞,n→∞, 并注意到式(28)～(31), 有

式(32)表明p*為問題(1)-(4)當u=u*,f=0時的解, 即p*=p(u*)為問題(1)-(4)當f=0時的L2(Q)解.

下證u*為性能指標泛函J(v)的最優控制.

定理3設狀態函數p(v)是問題(1)-(4)的L2(Q)解, 性能指標泛函J(v)定義如式(6), 容許控制集合Uad由式(8)給定. 序列{vn}是極小化序列,u*∈Uad是式(20)中的極限函數, 即vn→u*在L2(0,T)中弱. 則u*∈Uad即為系統(P)關于問題(7)的最優邊界控制, 即

(33)

(34)

由式(34)及p*=p(u*), 有p*=pu*, 故有

(35)

即p*為問題(1)-(4)當u=u*時的解,p*=p(u*).

下面證明u*即為最優邊界控制, (p*,u*)為最優對, 即證

J(u*)=d.

(36)

事實上, 由式(17),(20),(21),(35), 有

即式(36)成立.

2 控制為最優的必要條件及確定最優控制的最優性組

下面討論u*∈U為系統(P)最優邊界控制的必要條件, 并確定最優控制的最優性組.記

(37)

uλ=u*+λ(u-u*), 0<λ<1,

定理4若u*∈Uad是系統(P)的最優邊界控制, 則u*滿足如下不等式：

?u∈Uad.

(39)

證明: 設u*∈Uad為最優邊界控制, 則由性能指標泛函J(u)的結構式(6), 有

(40)

其中:p(uλ)=p(r,t;uλ);p*(u)=p(r,t;u*); 0<λ<1. 由式(40),(37)和極限的保號性可得

即式(39)成立. 證畢.

為變換式(39), 導入式(38)的伴隨狀態q(r,t;u)=q(u).

(41)

定理5設p(r,t;u)是問題(1)-(4)的廣義解, 則伴隨問題(41)存在唯一的廣義解：q(u)∈L2(Q),Dq(u)∈L2(Q).

證明: 用q(u)乘式(38)的第一式, 并在Q上積分, 得

(42)

在式(42)等號右邊對(r,t)進行分部積分, 并結合式(38)和式(41)后3個等式, 得

(43)

由式(43)知, 式(39)等價于

(44)

又由方程(41)知,q(r,t)依賴于p(r,t), 而p(r,t)=p(r,t;u*), 因此式(44)可變為

(45)

綜上, 可得本文主要結果：

定理6設p(v)∈L2(Q)是系統(P)的狀態,J(v)是由式(6)給出的性能指標,Uad是式(8)表示的容許控制集, 若u*∈Uad為系統(P)關于問題(7)的最優控制, 則u*∈Uad由系統(P)(其中v=u*)、 伴隨系統(41)及變分不等式(45)構成的最優性組的聯立解{u*,p,q}確定.

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