(行列)反對(duì)稱矩陣的極分解及其廣義逆

袁 暉 坪

(重慶工商大學(xué) 電子商務(wù)及供應(yīng)鏈系統(tǒng)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 400067)

0 引 言

定義1設(shè)A=(aij)∈Cm×n, 則稱

分別為矩陣A的行轉(zhuǎn)置矩陣與列轉(zhuǎn)置矩陣, 并記為AR和AC. 特別地, 若AR=A(AC=A), 則稱A為行(列)對(duì)稱矩陣; 若AR=-A(AC=-A), 則稱A為行(列)反對(duì)稱矩陣.

1 行(列)反對(duì)稱矩陣的極分解及廣義逆

引理1[15]設(shè)A∈Cm×n, 則對(duì)任何酉矩陣U∈Cm×m,V∈Cn×n有UAV的Moore-Penrose逆：

(UAV)+=VHA+UH.

2) 由1)、 引理1及文獻(xiàn)[15], 有

證明：

定理3的證明與定理1的證明類似, 故略.

定理4的證明與定理2的證明類似, 故略.

證明： 1) 與定理1和定理3的證明類似, 故略. 2) 與定理2和定理4的證明類似, 故略.

2 行(列)反對(duì)稱矩陣極因子的擾動(dòng)界

引理2設(shè)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均為復(fù)數(shù), 則

證明： 由復(fù)數(shù)的性質(zhì)及Cauchy-Schwarz不等式, 有

引理3設(shè)A∈Cm×n,Bij∈Cn×s,i,j=1,2,…,k, 則

證明： 由矩陣Frobenius范數(shù)的定義和引理2可知結(jié)論成立.

證明： 由定理1知1)成立； 由引理3和引理4知

證明： 由定理2知1)成立； 由引理3和引理4知：

綜上所述, 本文研究了行(列)反對(duì)稱矩陣的極分解、 廣義逆和擾動(dòng)界, 得出了行(列)反對(duì)稱矩陣與母矩陣兩者的極分解、 廣義逆和擾動(dòng)界之間的定量關(guān)系. 結(jié)果表明, 用母矩陣代替行(列)反對(duì)稱矩陣計(jì)算極分解、 廣義逆和擾動(dòng)界, 既減少了計(jì)算量和儲(chǔ)存量, 又保證了數(shù)值精度.

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