車橋耦合振動(dòng)數(shù)值分析

趙志軍

（新疆維吾爾自治區(qū)建筑設(shè)計(jì)研究院，新疆 烏魯木齊 830002）

0 引言

車輛荷載是橋梁設(shè)計(jì)中考慮的主要活荷載，車輛在橋梁結(jié)構(gòu)上行駛時(shí)伴隨車輛和橋梁之間的相互作用。當(dāng)車輛通過(guò)橋梁時(shí)，車輛會(huì)對(duì)橋梁產(chǎn)生荷載作用，橋梁會(huì)因?yàn)槭艿杰囕v荷載的激勵(lì)而發(fā)生振動(dòng)，同時(shí)橋梁的振動(dòng)也會(huì)對(duì)車輛來(lái)產(chǎn)生激勵(lì)，因此車輛和橋梁的振動(dòng)是一個(gè)相互影響、相互耦合的過(guò)程。隨著橋梁結(jié)構(gòu)向著跨度越來(lái)越大、質(zhì)量越來(lái)越輕、剛度越來(lái)越小的方向發(fā)展，交通量不斷持續(xù)增大，橋梁結(jié)構(gòu)在車輛動(dòng)力荷載作用下的安全性引起了廣泛的重視，因此車橋動(dòng)力相互作用問題一直是各國(guó)橋梁設(shè)計(jì)工作者研究的重點(diǎn)課題[1]。由于車輛和橋梁之間的相互作用力是一個(gè)時(shí)變力，這就增加了求解車橋耦合振動(dòng)的難度。隨著計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展和有限元理論的不斷完善，數(shù)值計(jì)算方法對(duì)車橋耦合振動(dòng)問題進(jìn)行求解成為了一種有效的途徑。

本文建立了彈簧質(zhì)量塊的車輛模型，結(jié)合數(shù)值計(jì)算方法Newmark法原理采用分離迭代法對(duì)車橋耦合振動(dòng)問題進(jìn)行求解，并編制了車橋耦合分析程序，采用龍格—庫(kù)塔法通過(guò)計(jì)算實(shí)例對(duì)該程序進(jìn)行了驗(yàn)證，得到了有價(jià)值的成果。

1 車橋模型及振動(dòng)方程

1.1 車輛模型及其振動(dòng)方程

為了準(zhǔn)確的研究車橋耦合振動(dòng)問題，就要求建立合適的車橋分析模型。各國(guó)學(xué)者對(duì)橋梁的模型都是基本一致的——彈性連續(xù)體，但是對(duì)車輛模型的定義根據(jù)不同的簡(jiǎn)化假設(shè)就具有從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的各種形式[2-3]。其中彈簧質(zhì)量塊模型是一種應(yīng)用較為廣泛的車輛模型。本文采用彈簧質(zhì)量塊模型（由彈簧和阻尼器所連接簧上質(zhì)量和簧下質(zhì)量模型）（見圖1），將車輛視為剛體的動(dòng)力系統(tǒng)，車輛的質(zhì)量集中在簧上質(zhì)量上，懸掛裝置由彈簧和阻尼器來(lái)模擬。車輛模型如圖1所示，z是車體的沉浮；y為輪對(duì)的豎向平動(dòng)。

圖1 車輛模型

由圖1所示的車輛簡(jiǎn)化計(jì)算模型，可以對(duì)其動(dòng)力方程進(jìn)行推導(dǎo)，首先假設(shè)車輛坐標(biāo)系以圖1中所示為正方向，車體和輪對(duì)均視為剛體，不考慮各部件的變形；彈簧和阻尼均為線性；車輛各部件在各自平衡位置附近做小位移的振動(dòng)。基于以上假設(shè)，利用達(dá)朗貝爾原理對(duì)圖1所示的車輛模型的振動(dòng)方程進(jìn)行了推導(dǎo)。

簧上質(zhì)量豎向運(yùn)動(dòng)平衡方程為：

1.2 橋梁模型及運(yùn)動(dòng)方程

橋梁為多自由度體系，這里采用有限元方法進(jìn)行處理，則其振動(dòng)方程為：

式中，Mb為橋梁的質(zhì)量矩陣；Cb為橋梁的阻尼矩陣；Kb為橋梁的剛度矩陣；，Yb分別為橋梁豎向動(dòng)態(tài)加速度響應(yīng)，速度響應(yīng)和位移響應(yīng)；Fb（t）為車輛對(duì)橋梁的動(dòng)態(tài)荷載項(xiàng)。

1.3 車橋相互作用力

這里假設(shè)汽車在橋梁上運(yùn)動(dòng)時(shí)車輪始終和橋面保持接觸狀態(tài)，取車輪作為研究對(duì)象，可以得到車輛與橋梁之間的相互作用力Fb（t）的表達(dá)式：

2 車橋系統(tǒng)振動(dòng)的數(shù)值方法及求策略

車橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)問題因?yàn)槠鋸?fù)雜性采用數(shù)值方法對(duì)該問題進(jìn)行求解分析不失為一種行之有效的方法。適用于車橋耦合振動(dòng)計(jì)算的數(shù)值方法很多，比較Newmark法、龍格—庫(kù)塔法和Wilson-θ法，本文選用Newmark法對(duì)該問題進(jìn)行求解。同時(shí)結(jié)合Newmark法計(jì)算原理編制了用于對(duì)車橋耦合振動(dòng)的計(jì)算程序。

本文將車橋看做兩個(gè)子系統(tǒng)，對(duì)其采用分離迭代的方法進(jìn)行求解。下面對(duì)Newmark法的計(jì)算原理進(jìn)行介紹，同時(shí)對(duì)具體的動(dòng)力分析步驟進(jìn)行了說(shuō)明。

2.1 Newmark法計(jì)算原理

Newmark法是逐步積分法的一種，其具有計(jì)算原理簡(jiǎn)單、工作量少、計(jì)算結(jié)果精確等優(yōu)點(diǎn)。其計(jì)算核心是從已知的i時(shí)刻的位移ui、速度和加速度計(jì)算i+1時(shí)刻的位移ui+1、速度和加速度。 其基本公式如下[4]：

參數(shù)β和γ定義了時(shí)間步內(nèi)加速度變化，并決定方法的穩(wěn)定性與精度特征，當(dāng)γ≥0.5，β≥（+γ）2/4時(shí)Newmark法無(wú)條件穩(wěn)定。下面給出了采用Newmark法求解動(dòng)力問題的具體步驟[5]。

首先，進(jìn)行初始計(jì)算：

a）形成質(zhì)量矩陣M，剛度矩陣K和阻尼矩陣C；

b）獲得初始向量u0，；

c）選擇參數(shù)β、γ和時(shí)間步長(zhǎng)Δt，并計(jì)算相關(guān)參數(shù)；

d）計(jì)算有效剛度矩陣。

其次，對(duì)每個(gè)時(shí)間步i進(jìn)行計(jì)算：

a）計(jì)算i+1時(shí)刻的等效荷載；

b）求解i+1時(shí)刻的位移；

c）求解i+1時(shí)刻的速度和加速度。

2.2 車橋振動(dòng)分析步驟

根據(jù)上面介紹的Newmark法計(jì)算原理，可以從已知i時(shí)刻的橋梁與車輛的振動(dòng)響應(yīng)，求解i+1時(shí)刻的動(dòng)力響應(yīng)，首先假設(shè)在起始時(shí)刻橋梁與車輛不發(fā)生振動(dòng)，然后采用分離迭代的方法對(duì)車輛和橋梁的動(dòng)力平衡方程進(jìn)行求解，詳細(xì)的求解分析思路如下：

a）提取i時(shí)刻橋梁的動(dòng)力響應(yīng)，然后通過(guò)插值計(jì)算得到車輛車輪位置的加速度、速度和位移；

b）利用步驟a）得到的車輛車輪位置的加速度、速度和位移更新車輛方程荷載項(xiàng)；

c）采用Newmark法根據(jù)i時(shí)刻車輛的動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算i+1時(shí)刻車輛的動(dòng)力響應(yīng)；

d）根據(jù)前面結(jié)果更新i+1時(shí)刻車輛對(duì)橋梁的作用力；

e）采用NEWMARK法由i時(shí)刻的橋梁響應(yīng)計(jì)算i+1時(shí)刻的橋梁動(dòng)力響應(yīng)；

f）判斷同一時(shí)刻相鄰兩次計(jì)算得到的橋梁響應(yīng)是否收斂，若不收斂重復(fù)步驟a）～e）直至橋梁響應(yīng)結(jié)果收斂后再進(jìn)行下一個(gè)時(shí)間步計(jì)算。

3 算例分析

橋梁參數(shù)：跨徑L=16m，抗彎剛度EI=2.05×1010N·m2，線質(zhì)量m=9360kg/m，泊松比v=0.2，汽車參數(shù)：M1=46900kg，M0=16900kg，k0=4.86×106N/m，c0=3.14×105N·s/m，v=60km/h。

為了證明本文計(jì)算方法的正確性，同時(shí)采用龍格—庫(kù)塔法對(duì)算例進(jìn)行計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果與編制的計(jì)算程序的結(jié)果進(jìn)行比較，圖2～圖4分別給出了算例的簡(jiǎn)支梁跨中位置，分別采用龍格—庫(kù)塔法和作者所編制的計(jì)算程序的位移響應(yīng)、速度響應(yīng)、加速度響應(yīng)比較圖。

圖2 橋梁跨中位移響應(yīng)

圖3 橋梁跨中速度響應(yīng)

圖4 橋梁跨中的加速度響應(yīng)

由圖2～圖4可知：a）本文編制的程序和龍格—庫(kù)塔法計(jì)算車橋耦合振動(dòng)都得到了較精確的結(jié)果，兩者之間的符合度較高，其得到的跨中撓度位移值與龍格—庫(kù)塔法的結(jié)果最大偏離僅為0.15%；b）本文編制的程序計(jì)算車橋耦合振動(dòng)時(shí)，由于其在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)迭代收斂速度較快，并沒有因?yàn)槠胶獾鷵p失太多時(shí)間，同時(shí)結(jié)果精度較高。

4 結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)了彈簧質(zhì)量塊車輛模型和橋梁的運(yùn)動(dòng)平衡方程，選用了NEWMARK法對(duì)車橋系統(tǒng)方程進(jìn)行分離迭代求解，并提出了車橋耦合振動(dòng)分析的步驟，結(jié)合計(jì)算原理編制了車橋耦合分析程序。利用該程序和龍格—庫(kù)塔法分別對(duì)一算例計(jì)算驗(yàn)證該程序的準(zhǔn)確性，通過(guò)算例證明該程序的計(jì)算結(jié)果和龍格—庫(kù)塔法計(jì)算結(jié)果符合度較高，該程序計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確可靠，可應(yīng)用于車橋耦合振動(dòng)分析。

[1]夏禾.車輛與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用[M].北京：科學(xué)出版社，2002.

[2]Thomas D.Gillespie.車輛動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)[M].趙六奇，金達(dá)鋒，譯.北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[3]曹雪琴，劉必勝，吳鵬賢.橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，1987.

[4]Anil K Chopra.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論及其在地震工程中的應(yīng)用[M].2版.北京：高等教育出版社，2005.

[5]Bathe K.J,Wilson E.l.Solution methods for eigenvalue problems in structural mechanics[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，1973，6（2）：213-226.