基于馬氏鏈模型和模擬退火算法的最優證券投資組合

李旭坤

（華中師范大學數學與統計學學院，湖北 武漢 430079）

一、引言

證券投資是在證券市場上購買有價證券，以利息、股息或出售贏利等形式取得利潤收益的一項經濟活動。證券投資者最關心的是投資收益率的高低及投資風險的大小，投資者在選擇投資策略時，總希望收益率大而風險小，但二者不可能同時滿足。在給定的收益率下，確定投資策略使投資風險最小，是投資者最關心的問題。

現代證券組合理論是關于在收益不確定條件下投資行為的理論，它由Markowitz提出，認為理性的投資者應該具有“非滿足性”和“風險回避性”兩個特征。

一般認為，證券市場是弱有效的，歷史信息已反應在當前價格中，證券未來的價格僅與當前狀態有關，而與過去無關。大量的研究也證明了證券價格具有馬氏性，因此利用馬氏鏈模型進行研究是合理的。Markowitz模型要求協方差矩陣是正定的，但是這條件在現實中并不具有一般性。模擬退火算法為我們提供了一種數值計算的解決方法。

二、馬氏鏈模型

定理 對時齊馬氏鏈，如果存在正整數d，對任意的i,j∈S，都有pij(d)≥0，則此鏈具有遍歷性，且有極限分布π＝（π1,π2,…，πn)。

將證券價格的狀態空間劃分為{上漲，穩定，下跌}，用{1,2,3}表示，即狀態空間S={1,2,3}。轉移概率用一個狀態轉移到另一狀態的頻率代替，即因此，轉移矩陣為：

建立馬氏鏈模型，首先要判斷證券價格是否具有馬氏性。設pi服從自由度為(n-1)2的x2分布，利用Y統計量對證券價格的馬氏性進行假設檢驗。前人研究證明[1]，原假設被拒絕，即認為證券價格具有馬氏性。本文在設計ma t l a b程序時也對證券價格進行了x2檢驗。

三、模擬退火算法

Markowitz的均值—方差模型如（1）描述，其中X=(X1,X2,…,Xn)是投資組合，Σ是協方差矩陣，R=(R1,R2,…,Rn)T是證券的收益率向量，R P是投資者的期望收益。均值—方差模型的經濟學意義在于使用方差衡量投資風險，投資者可預先確定一個期望收益，通過該模型確定在每種證券上的投資比例，使證券組合的投資風險最小。不同的期望收益會存在不同的投資組合，使得方差最小。

由于算法最終解有可能并不是最優解，本文參考前人的研究成果[2]，在設計matlab程序時增加了一個停時器，其作用是將退火過程中的最優解記錄下來，并最終輸出最優解。本文取初始溫度T0=200，最終溫度 e=0.0001，降溫系數是 at=0.99,Tk+1=at*Tk，每一溫度下的迭代次數L=500。在初始狀態的選取上，使用Monte Carlo方法求得一個較好的初始解。

模型（1）中證券不允許賣空，這與中國的市場現狀是符合的。由于要求證券組合的和為1，所以要對新解進行歸一化處理，保證其和為1。相鄰狀態的產生規則是產生一個0和1間的隨機數，新解X'=X+scale*[rand(1)-0.5]，scale是自領域適應因子[3]，初值scale0=1，下降系數與降溫系數一樣，scalek+1=at*s c a l ek，與溫度下降類似，它在迭代開始時較大，在結束時較小。優化函數為J(X)=XΣXT-(XR-RP)2，最優證券投資組合就是使得目標函數J(X)最小且滿足相應約束條件的X。

當出現新解的某個分量小于0或大于1時，本文采用的方法是用舊解中相應位置的分量去代替。

四、實證分析

本文選取平安銀行2011年12月30日至2013年3月25日共304個交易日收盤價數據進行實證分析，實際有效數據為290天[4]。通過ma t l a b計算，發現平安銀行的價格具有馬氏性，這與已有的研究成果相一致，因此可以使用馬氏鏈模型去進行研究。計算可得轉移矩陣，如（2）所示：

轉移矩陣表明無論平安銀行當前股價處于什么狀態，未來上漲或下降的概率都接近0.5，股價維持不變的可能性非常低，符合市場實際情況。由定理知，轉移矩陣同時表明該馬氏鏈是遍歷的，且存在極限分布limP，如（3）所示。

極限分布表明平安銀行下跌的概率約為45%，上漲概率約為52%，股價維持不變的可能性非常小，因此，對平安銀行股價未來的趨勢判斷是上漲。同樣地，可以對其他證券進行類似操作。接下來，選取十只上漲概率較大，即未來表現較好的證券作為投資組合的證券，通過馬氏鏈模型的篩選，分別為保利地產、格力電器、貴州茅臺、農業銀行、上汽集團、萬科A、招商銀行、中國建筑、中國平安、中信證券，選取2012年11月14日到2013年3月29日共90個有效交易日的收益率數據進行模擬退火算法的實證研究[4]。

證券的收益率Ri用歷史收益率數據序列{ri}的期望值去代替，因為收益率圍繞均值上下波動，用期望值去近似代替收益率是合理的，即Ri=E(ri)。取期望收益率R P等于日無風險利率0.000086，因為如果證券投資組合的收益率小于無風險利率，投資者可以直接投資短期國債而無需承擔風險。表一是用Monte Carlo方法得到的初始解，表二是用模擬退火算法求得的最優解，其風險比初始風險要低，同時收益率也比初始值要低，這符合經濟學原理，風險和收益是正相關的。最優解的優化函數值小于初始解的優化函數值，這表明在相同的收益率下，最優解要比初始解的證券投資組合風險要小。

表一 Monte Carlo方法

表二 模擬退火算法

五、結論

在證券市場具有馬氏性這一條件下，利用馬氏鏈模型選取十只未來預期表現較好的證券，再利用模擬退火算法，避開了均值—方差模型當中協方差是正定的要求，得到最優證券投資組合，結果令人滿意。

[1]王新蕾，肖東榮等.股指馬氏性的檢驗和預測[J].統計與決策，195：21-22，2005.

[2]龐峰.模擬退火算法原理及算法在優化問題上的應用[D].碩士學位論文，吉林大學，6-7，2006.

[3]肖思和，魯紅英等.模擬退火算法在求解投資組合優化問題中的應用研究[J].四川理工學院學報（自然科學版），23(1)：116-118，2010.

[4]北京聚源銳思數據科技有限公司.銳思金融數據庫.http：//w ww.resset.cn.