變形問題在一元函數(shù)微積分學(xué)中的體現(xiàn)

王志超 (中國傳媒大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，北京 100024)

變形問題在一元函數(shù)微積分學(xué)中的體現(xiàn)

王志超 (中國傳媒大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，北京 100024)

以一元函數(shù)微積分學(xué)中3個(gè)典型的變形問題(導(dǎo)數(shù)形式與極限形式的相互轉(zhuǎn)變、不定積分形式與導(dǎo)數(shù)形式的相互轉(zhuǎn)變、定積分形式與抽象函數(shù)形式的相互轉(zhuǎn)變)為視角，通過對(duì)實(shí)例的分析與反思，研究了變形問題的命題依據(jù)和解題策略。

一元函數(shù)微積分；變形；數(shù)學(xué)關(guān)系；原函數(shù)；抽象函數(shù)

變形是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本技能之一，在形形色色的數(shù)學(xué)問題中涉及廣泛。由于它需要考驗(yàn)解題者對(duì)于數(shù)學(xué)形式特征的敏感程度，對(duì)思維的跳躍性要求較高，許多教材又很難成體系地歸納出方法的定論，所以成為了許多同學(xué)在解題中難以逾越的鴻溝。在學(xué)習(xí)中，如何突破這一“瓶頸”呢？筆者認(rèn)為，一方面，要剖析命題者設(shè)計(jì)這個(gè)變形題的依據(jù)是什么，清楚往哪里變；另一方面，要深究解題者實(shí)現(xiàn)這個(gè)變形的關(guān)鍵點(diǎn)是什么，清楚怎么變。下面就以一元函數(shù)微積分學(xué)中3個(gè)典型的變形問題為視角，談一談筆者對(duì)于變形的拙見。

1 導(dǎo)數(shù)形式與極限形式的相互轉(zhuǎn)變

1.1正向：變極限式為導(dǎo)數(shù)式

(2)本題是不是x0-h看作“x0”，2h看作“Δx” 呢？不是。因?yàn)轭}中只交代了f′(x0)存在，并未說明f′(x0-h)是否存在。故只能把x0看作“x0”，h和-h看作“Δx”。由于題中沒有f(x0)項(xiàng)，可在分子先加f(x0)再減 ，并將分式拆成2項(xiàng)，即：

反思如何將極限式湊成導(dǎo)數(shù)的定義式？

(i)關(guān)注x0和Δx的抽象性。“x0”可以是數(shù)，也可以是實(shí)在的x0，但必須滿足“f′(x0)”存在；“Δx”可以是h，可以是含變量x的代數(shù)式，也可以是實(shí)在的Δx，但必須符合“f(x0+Δx)”的形式。

(ii)關(guān)注Δx的一致性。導(dǎo)數(shù)定義式中“ Δx→0”中的“Δx”、“f(x0+Δx)”中的“Δx”、分母的“Δx”三位一體，形式一致是湊型的重要依據(jù)。如問題(3)， sin2x+cosx-1之所以能看作“Δx”，還因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)滿足sin2x+cosx-1→0。

(iii)關(guān)注方法的針對(duì)性。例1中問題(1)的核心步驟是分子分母同時(shí)乘以-1，針對(duì)的是題中分子分母都相差一個(gè)負(fù)號(hào)，不妨稱為“正負(fù)湊型”；問題(2)的核心步驟是在分子先加f(x0)再減f(x0)，針對(duì)的是題中沒有f(x0)項(xiàng)，不妨稱為“加減湊型”；問題(3)的核心步驟是在原式先除sin2x+cosx-1再乘sin2x+cosx-1，針對(duì)的是題中分母不是“Δx”，不妨稱為“乘除湊型”。這是將極限式湊成導(dǎo)數(shù)定義式的3種典型的情境。

1.2逆向：變導(dǎo)數(shù)式為極限式

反思如何借助已知的極限求導(dǎo)？

(ii)本例中，雖然問題以導(dǎo)數(shù)的面孔出現(xiàn)，但關(guān)鍵步驟用到的卻是極限的方法，即把求導(dǎo)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為了已知極限求參數(shù)值的問題。推廣至所有以“借鑒關(guān)系”為命題依據(jù)的變形問題，變形時(shí)要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化。因?yàn)槭墙梃b關(guān)系，問題往往容易產(chǎn)生交匯，產(chǎn)生交匯就難免相互轉(zhuǎn)化，解決的方法自然也難免要相互借鑒。本例與通過把函數(shù)變形為方程求值域，通過把方程記作2個(gè)函數(shù)判斷根的情況等問題“題出同門”，都是以借鑒關(guān)系為命題依據(jù)的變形問題。

2 不定積分形式與導(dǎo)數(shù)形式的相互轉(zhuǎn)變

2.1正向：變導(dǎo)數(shù)式為不定積分式

反思如何使導(dǎo)數(shù)與不定積分轉(zhuǎn)化自如？

(i)當(dāng)同時(shí)涉及導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)時(shí)，要理清其關(guān)系，即誰是誰的導(dǎo)函數(shù)，誰是誰的原函數(shù)，做到不顛倒。

(ii)當(dāng)同時(shí)涉及多個(gè)任意常數(shù)C時(shí)，要明確其來源，即每一個(gè)任意常數(shù)是由哪一次積分所得，并用不同的下標(biāo)加以區(qū)分，做到不遺漏，不混淆。

2.2逆向：變不定積分式為導(dǎo)數(shù)式

反思如何借助已知的不定積分求另一不定積分？

(ii)本例的關(guān)鍵在于求f(x)，求f(x)的關(guān)鍵在于去積分號(hào)，而只有導(dǎo)數(shù)才能抵消積分，故等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，變不定積分式為導(dǎo)數(shù)式是唯一的選擇。推廣至所有以“互逆關(guān)系”為命題依據(jù)變形問題，變形時(shí)要學(xué)會(huì)抵消。互逆運(yùn)算最大的特點(diǎn)就是能相互抵消，就好比減法能抵消加法，除法能抵消乘法，平方能抵消根號(hào)，對(duì)數(shù)能抵消指數(shù)。因此，成為變形障礙的運(yùn)算可考慮用其互逆運(yùn)算來抵消。本例的等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)與解無理方程時(shí)等式兩邊同時(shí)平方，求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)等方法有異曲同工之妙。

3 定積分形式與抽象函數(shù)形式的相互轉(zhuǎn)變

3.1正向：變定積分式為抽象函數(shù)式

分析從結(jié)論入手，適合用分部積分法:

再從條件入手，f′(2),f(2),f(0)的值恰好已知。故原式=5-3+1=3。

反思何借助已知的函數(shù)值求抽象函數(shù)的定積分？

(ii)遵循必要的“程序化”規(guī)則很重要：本例中，將上、下限代入后得到的3個(gè)函數(shù)值f′(2),f(2),f(0)恰好已知看似是巧合，但這種巧合一定程度上基于用分部積分法求定積分的“程序化”規(guī)則：邊積邊代限。如若不遵循這個(gè)規(guī)則，一旦被積函數(shù)“抽象”了，算不出具體的不定積分結(jié)果，“要不要帶限”，“什么時(shí)候帶限”都會(huì)引起歧義。這時(shí)，這種“巧合”的出現(xiàn)恐怕要頗費(fèi)些周折了。所謂“程序化”，就是像電腦程序一樣，按部就班地規(guī)定好先做什么，再做什么。遵循必要的程序有助于從容地應(yīng)對(duì)特殊情境，減少出錯(cuò)的機(jī)會(huì)，使解題過程變得順暢。

3.2逆向：變抽象函數(shù)式為定積分式

4 結(jié) 語

綜上所述，圍繞一元函數(shù)微積分學(xué)的極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分都可以涉及變形問題。筆者認(rèn)為，變形問題來源于數(shù)學(xué)關(guān)系。有數(shù)學(xué)關(guān)系就有數(shù)學(xué)形式，有數(shù)學(xué)形式就可以互相轉(zhuǎn)變形式。換言之，極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分以及抽象函數(shù)之間存在著內(nèi)在的關(guān)系(借鑒關(guān)系、互逆關(guān)系、展開關(guān)系)，當(dāng)然這些關(guān)系都有各自的淵源(導(dǎo)數(shù)定義、互逆運(yùn)算、牛頓-萊布尼茨公式)。總之，這些關(guān)系“服務(wù)”了命題者，卻“害苦”了解題者。那么，如何使解題者不再痛苦呢？正所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”，解題者應(yīng)當(dāng)換位思考，去研究命題者是依據(jù)什么想出這道題的。因?yàn)橐罁?jù)借鑒關(guān)系，所以考慮轉(zhuǎn)化；因?yàn)橐罁?jù)互逆關(guān)系，所以考慮抵消；因?yàn)橐罁?jù)展開關(guān)系，所以考慮選擇。這就是“往哪里變”。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].第6版.北京:高等教育出版社,2007.

[2]武忠祥.數(shù)學(xué)考研歷年真題分類解析[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2006.

[編輯] 洪云飛

O172.1

A

1673-1409(2013)25-0134-04

2013-06-08

王志超(1994-)，男，現(xiàn)主要從事傳媒經(jīng)濟(jì)方面的學(xué)習(xí)。