Banach空間的不動點定理及其證明

熊 駿 (長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

桑洪新 (仙挑市第八中學，湖北 仙挑 433000)

Banach空間的不動點定理及其證明

熊 駿 (長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

桑洪新 (仙挑市第八中學，湖北 仙挑 433000)

中閉球到自身的連續映射至少有一個不動點(BROWER不動點定理)。給出了Banach空間中的不動點定理及其證明，該定理可以作為BROWER不動點定理的推廣。

不動點定理；Banach空間；連續映射

定理1 設M是Banach空間B中的緊凸集，T是M到自身的連續映射，則T至少有一個不動點，即至少存在x∈M,使得Tx=x。

(1)

(2)

這樣當限制在Mk上時，映射Tk°T是Mk到自身的連續映射。注意到Mk同胚于Rn中的單位球，其中n=rank{x1,x2,…,xn}，由BROWER不動點定理[1-2]知，映射Tk°T至少有一個不動點，記為xk∈Mk。再由M的緊性，對于k∈Z+，序列{xk}包含一個收斂的子列，不妨就設xk→x∈M,(k→∞)，下證x就是T的不動點。

事實上，把式(2)應用于Txk得：

令k→∞，由T的連續性得到Tx=x。

定理2 設M是Banach空間B中的閉凸集，T是M到自身的連續映射，若T(M)予緊，則T至少有一個不動點。即至少存在x∈M,使得Tx=x。

定理3 設T是Banach空間B中到自身的緊映射，并假設存在正常數Q使得，對?x∈B及σ∈[0,1]，只要有x=σTx，就有：

‖x‖

(3)

則T至少有一個不動點。

證明設常數Q=1，定義映射T*為：

證明定義映射T*為:

[1]張恭慶，林源渠.泛函分析講義(上冊)[M].北京：北京大學出版社，2006.

[2]熊金城.點集拓撲講義[M]. 第3版.北京：高等教育出版社，2004.

[編輯] 洪云飛

O177.2

A

1673-1409(2013)25-0014-02

2013-06-16

熊駿(1968-)，男，碩士，副教授，現主要從事基礎數學方面的教學與研究工作。