一個數論命題及其應用

宋述剛 (長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

文昌敏 (荊州市沙市教育科學院，湖北 荊州 434000)

一個數論命題及其應用

宋述剛 (長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

文昌敏 (荊州市沙市教育科學院，湖北 荊州 434000)

建立了如下數論命題:設p,q∈N+,0N與j(0

互素； 整除 ；有界函數

在華東師范大學數學系編寫的《數學分析》有如下一道習題[1]:

例1設：

證明:?x0∈(0,1)與δ>0，滿足(x0-δ,x0+δ)?(0,1)，都有函數f(x)在(x0-δ,x0+δ)上無界。此處(p,q)表示p,q的最大公約數，(p,q)=1表示p,q互素。

由此,筆者考慮如下數論命題。

猜想1設p,q∈N+, 0

(mp+j,mq)=1

但遺憾的是，此猜想并不成立，有如下反例。

例2[2-3]取p=3,q=7,m=6!×5=3600，可以計算：

(3×3600+1,7×3600)=7 (3×3600+2,7×3600)=2

(3×3600+3,7×3600)=3 (3×3600+4,7×3600)=4

(3×3600+5,7×3600)=5 (3×3600+6,7×3600)=6

即：

(3×3600+j,7×3600)≠1 (j=1,2,3,4,5,6)

既然此猜想對所有正整數不成立，是否對無窮大的或無窮多個正整數n成立呢？進而，筆者將上述猜想進行改進。

引理1設p,q,e∈N,e|p,e|q,則?m,n∈N,有e|(mp+nq)。

命題1設p,q∈N+,0N與j(0

(np+j,nq)=1

證明取n=qx，其中x是正整數，使得qx>N，令j=q-1，則必有(qxp+q-1,qxq)=1。

事實上，若：

(qxp+q-1,qx+1)=e

則e|(qxp+q-1),e|qx+1,從而由引理1有：

e|[q(qxp+q-1)-pqx+1]

即：

e|q(q-1)

同理：

e|[qx-1q(q-1)-qx+1]

即：

e|qx

再由e|q(q-1),e|qx可得：

e|[qx-2q(q-1)-qx]

即：

e|qx-1

由歸納法可得e|q0，即e|1，故e=1。得證。

根據前述命題，?j:0

f(xn)=nq(q>1)

由于n可充分大，故f(x)在(x0-δ,x0+δ)無上界，從而f(x)是(x0-δ,x0+δ)上的無界函數。

[1]華東師大數學系.數學分析[M].第4版. 北京：高等教育出版社，2010.

[2]馮克勤.初等數論及其應用[M]. 北京：北京師范大學出版社， 2003.

[3]潘承洞，潘承彪.初等數論[M].第3版.北京：北京大學出版社，2013.

[編輯] 洪云飛

O174；O156

A

1673-1409(2013)25-0012-02

2013-06-13

宋述剛(1961-)，男，教授，現主要從事函數論及數學史方面的教學與研究工作。