由不同生成元而形成的Cantor集的多重分形譜比較

左 飛 (鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 鹽城 224002)

由不同生成元而形成的Cantor集的多重分形譜比較

左 飛 (鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 鹽城 224002)

為了研究在不同生成元下，Cantor集的多重分形譜的變化規(guī)律及比較它們之間的差別。選擇了Cantor集的一種質(zhì)量分布，當(dāng)賦予質(zhì)量以不同的概率比時(shí)，用多重分形譜的方法加以分析，并用Matlab軟件畫(huà)出多重分形譜隨奇異指數(shù)變化的函數(shù)圖，能夠直觀的比較多重分形譜之間的差別和廣義分形維數(shù)之間的差別。通過(guò)比較，當(dāng)生成元之間的差別越來(lái)越小時(shí)，多重分形譜的寬度則越來(lái)越窄，且廣義分形維數(shù)的縱向高度也越來(lái)越窄。所有多重分形譜的最大值均為Cantor集的Hausdoff維數(shù),也即0.631。

分形幾何；多重分形測(cè)度；多重分形譜；廣義分形維數(shù)；Cantor集

多重分形測(cè)度理論為近年來(lái)分形幾何研究的一個(gè)重要而活躍的分支，特別是對(duì)于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)而言，因?yàn)閱我坏姆中尉S數(shù)只能反映不規(guī)則對(duì)象的總體特征，不能對(duì)分形對(duì)象作更細(xì)微的分析，因此對(duì)于刻畫(huà)客觀事物的形貌顯得越來(lái)越‘粗糙’。而多重分形理論對(duì)不規(guī)則研究對(duì)象內(nèi)部之間賦予概率的成分，充分考慮到不規(guī)則對(duì)象內(nèi)部各區(qū)域之間的分布的不均勻性，從而更細(xì)致的刻畫(huà)了分形幾何對(duì)象的特征。下面，筆者從多重分形測(cè)度理論的角度來(lái)分析典型的分形集Cantor集的多重分形譜與廣義分形維數(shù)。

1 主要概念與結(jié)論

定義1[1-2](多重分形測(cè)度) 設(shè)μ為定義在Rn上的測(cè)度，且0<μ(Rn)<∞，若滿(mǎn)足冪律關(guān)系式：

μ(Br(x))∝rα

(1)

式中，Br(x)為以x為中心、r為半徑的閉球；α為冪指數(shù)(也稱(chēng)奇異指數(shù))，則稱(chēng)具有這種性質(zhì)的分布或測(cè)度稱(chēng)之為多重分形測(cè)度。

定義2[1-3](配分函數(shù)、質(zhì)量指數(shù)) 對(duì)于尺度為δ的盒子，其第i個(gè)盒子的質(zhì)量分布概率為Pi(δ)，稱(chēng)表達(dá)式：

(2)

為配分函數(shù)。由式(2)兩邊取對(duì)數(shù)，再取極限得到：

(3)

τ(q)稱(chēng)為質(zhì)量指數(shù)。

定義3[1-3](廣義分形維數(shù)) 定義廣義分形維數(shù)Dq為：

(4)

定義4[1-3](多重分形譜) 設(shè)F是一個(gè)分形集，用尺度為δ的盒子對(duì)F進(jìn)行劃分，把全部概率分布為Pi(δ)組成的集劃分為一系列子集，即按Pi(δ)的大小劃分為滿(mǎn)足下面的冪函數(shù)的子集：

Pi(δ)∝δα

(5)

這里α為奇異指數(shù)(它是反映分形上各個(gè)小集合的奇異程度的一個(gè)量，所以α的數(shù)值必定與所在的子集有關(guān)。特別地，如果分形集F分布是均勻的，則α必然只有一個(gè)值。若不均勻，可以用α值的大小區(qū)分為許多小子集)。將子集內(nèi)的單元數(shù)N(δ)和δ的關(guān)系定義為：

N(δ)∝δ-f(α)

(6)

這里的f(α)就表示具有相同奇異指數(shù)α的子集的分形維數(shù)。稱(chēng)f(α)為多重分形譜。它是奇異指數(shù)α的函數(shù)。

經(jīng)過(guò)證明[1-2]，q(-∞

(7)

如果已知質(zhì)量指數(shù)τ(q)，則可以求出奇異指數(shù)α(q)，式(7)給出了多重分形譜f(α)的參數(shù)表達(dá)式，參數(shù)為q。另一方面，如果能測(cè)得廣義分形維數(shù)Dq，可以計(jì)算奇異指數(shù)α(q)，然后計(jì)算出τ(q)，從而由式(7)計(jì)算出f(α)。相反如果已知f(α)，由此得到q，再求出τ(q)，最后由式(4)求出Dq。它們之間都是隱函數(shù)和參量方程的關(guān)系，對(duì)于一般的分形集，以上多重分形理論是嚴(yán)格的，但在實(shí)際應(yīng)用上計(jì)算非常困難，因此從應(yīng)用角度出發(fā)，只能用近似的計(jì)算來(lái)逼近以上的理論。

這里定義多重分形譜的寬度[3]為:

Δα=αmax-αmin

(8)

它在圖中的寬、窄程度定量的表征了分形曲線(xiàn)的各小區(qū)間中最大、最小概率間的差別。

2 應(yīng)用舉例

(9)

(10)

從而由式(7)可得多重分形譜為：

(11)

下面取生成元為不同的值比較其差別:

(1)當(dāng)p1=1/8,p2=7/8，其多重分形譜與廣義分形維數(shù)的圖如圖1、圖2所示：

D-∞=1.893D∞=0.122D1=f(α(1))=0.343=f(α(-1))

(2)當(dāng)p1=1/6,p2=5/6,多重分形譜與廣義分形維數(shù)的圖如圖3、圖4所示：

D-∞=1.631D∞=0.166D1=f(α(1))=0.410=f(α(-1))

(3)當(dāng)p1=1/4,p2=3/4,多重分形譜與廣義分形維數(shù)的圖如圖5、圖6所示：

D-∞=1.262D∞=0.262D1=f(α(1))=0.512=f(α(-1))

(4)當(dāng)p1=1/3,p2=2/3,多重分形譜與廣義分形維的圖如圖7、圖8所示：

D-∞=1D∞=0.369D1=f(α(1))=0.579=f(α(-1))

圖1 p1=1/8,p2=7/8的多重分形譜 圖2 p1=1/8,p2=7/8的廣義分形維數(shù)

圖3 p1=1/6,p2=5/6的多次分形譜 圖4 p1=1/6,p2=5/6 的廣義分形維數(shù)

圖5 p1=1/4,p2=3/4的多重分形譜 圖6 p1=1/4,p2=3/4的廣義分形維數(shù)

(5)當(dāng)p1=2/5,p2=3/5,多重分形譜與廣義分形維數(shù)的圖如圖9、圖10所示：

D-∞=0.834D∞=0.465D1=f(α(1))=0.613=f(α(-1))

(6)當(dāng)p1=1/2,p2=1/2,多重分形譜與廣義分形維數(shù)的圖如圖11、圖12所示：

D-∞=D∞=0.631

圖7 p1=1/3,p2=2/3的多重分形譜 圖8 p1=1/3,p2=2/3的廣義分形維數(shù)

圖9 p1=2/5,p2=3/5的多重分形譜 圖10 p1=2/5,p2=3/5的廣義分形維數(shù)

圖11 p1=1/2,p2=1/2的多重分形譜 圖12 p1=1/2,p2=1/2的廣義分形維數(shù)

3 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，簡(jiǎn)單分形維數(shù)(如盒維數(shù))，僅僅是對(duì)分形曲線(xiàn)形貌的總體表征，而并沒(méi)有考慮曲線(xiàn)內(nèi)部分布的不均勻性，因此對(duì)于刻畫(huà)分形曲線(xiàn)顯得比較“單一”，而多重分形理論以概率分布的方式，考慮了在分形曲線(xiàn)內(nèi)部分布的不均勻性。多重分形譜的寬度Δα可以定量的說(shuō)明分形曲線(xiàn)的起伏程度。

[1]Kenneth Falconer.分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M]. 第2版.曾文曲譯.北京:人民郵電出版社,2007.

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[編輯] 洪云飛

O189

A

1673-1409(2013)25-0001-04

2013-06-24

左飛(1981-)，男，碩士，講師，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。