捕食者具有傳染病的捕食系統的全局穩定性

宋 燕，周 晶，張 宇

（渤海大學 數理學院，遼寧 錦州 121013）

0 引言與模型

傳染病的存在是一種非常普遍的現象，對傳染病傳播規律的研究關系到國計民生。利用動力學方法建立傳染病的數學模型，并通過數學模型對傳染病進行定性與定量的分析和研究已取得了很多成果，這些成果主要集中在判定、預測疾病的發展趨勢上，從而采取措施對疾病進行控制，參見文獻［1－6］。然而，疾病可以在不同的種群之間傳播，研究疾病在相互作用種群之間的傳播規律，是種群生態學與傳染病動力學的一種結合。文獻［7］研究了疾病只在食餌中傳播的生態－流行病模型，得到了疾病是否流行的閾值條件。文獻［8－10］研究了捕食者有病的生態－流行病（SI）模型，研究了平衡點的穩定性。

文章研究捕食者和食餌均有密度制約，捕食者具有傳染病，染病的捕食者不能捕食且染病捕食者染病之后可以恢復的生態－流行病（SIS）模型，模型如下：

其中S（t），I（t）表示t時刻捕食者種群易感者、染病者的數量，X（t）表示t時刻食餌的數量，r1為捕食系數，K1、K2分別為環境對食餌及捕食者的最大容量，r0為捕食者的內稟增長率，a0為食餌的內稟增長率，t1為轉化系數，β為傳染率系數，b1為染病者的恢復率系數，d1為染病者的死亡率（包括自然死亡率和因病死亡率），τ為時間變量，系統中各系數均為正數。

1 平衡點的存在性及解的有界性

定 理 1 系 統 （2）總 存 在 無 病 平 衡 點E0（0，0，0），E1（1，0，0），E2（0，1，0），E3時，系統（2）存在地方病平衡點當R0＞1時，系統（2）存在平衡點及地方病平衡點E5（x＊，s＊，i＊），其中：

為討論解的有界性，引入引理1［11］。

引理1 在系統N′＝NF（N）中，如果函數F（N）滿足條件：ⅰ）有唯一的正平衡點N＊，即存在N＊＞0，使F（N＊）＝0；ⅱ）當0＜N＜N＊時，有F（N）＞0；ⅲ）當N＞N＊時，有F（N）＜0，則平衡點N＊是全局穩定的。

定理2 系統（2）的滿足初始條件（x（0），s（0），i（0））∈R3＋的所有正解是一致最終有界的。

證明 由系統（2）的第一個方程知x′≤ax（1－x），作輔助方程

由引理1知，對任意的ε，存在T，當t＞T時，有1－ε＜y（t）＜1＋ε。根據比較定理，存在T，當t＞T時，x（t）≤y（t）＜1＋ε。取V（t）＝x（t）＋s（t）＋i（t），當t＞T時，沿系統（2）的軌線對V（t）求全導數，有

作輔助比較方程

解之得

根據比較定理知

故存在M1及T′＞T，當t＞T′時，有V（t）＝x（t）＋s（t）＋i（t）≤M1。又因為x（t）≥0，s（t）≥0，i（t）≥0，從而滿足初始條件（x（0），s（0），i（0））∈R3＋的正解是有界的。

2 無病平衡點的穩定性

定理3 系統（2）的無病平衡點E0，E1，E2是不穩定的；當時，無病平衡點E3是全局漸近穩定的，當R＞1時，E3是不穩定的。

證明 系統（2）的Jacobian矩陣為

系統（2）在E0處的Jacobian矩陣為

其特征根為λ1＝a，λ2＝r，λ3＝－（b＋d），有正的特征根，故E0不穩定。

同理，E1，E2也是不穩定的。

系統（2）在E3處的Jacobian矩陣為

所以λ1＜0，λ2＜0，從而當R≤1時，J（E3）特征根的實部均為非正，故E3是局部穩定的。當R＞1時，E3是不穩定的。

｛V′（t）＝0｝＝｛（，0）｝，故E3是V′（t）＝0的最大不變集，由LaSalle不變集原理得到E3是吸引的，從而E3是全局漸近穩定的。

3 地方病平衡點的穩定性

定理5 當R＞1時，地方病平衡點E5（x＊，s＊，i＊）是全局漸近穩定的。

證明 當R0＞1時，系統（2）除了地方病平衡點E5外，還存在平衡點E4，易證這時E4是不穩定的，因此下面只討論地方病平衡點E5的穩定性。

系統（2）在E5處的Jacobian矩陣為

經計算可知H1＝a1＞0，H2＝a1a2－a3＞0，H3＝a3H2＞0，由 Hurwitz判據知，矩陣J（E5）的特征根的實部均為負的，所以地方病平衡點E5是局部漸近穩定的。

取Lyapunov函數

當且僅當x＝x＊，s＝s＊時，V′（t）＝0，這時i＝i＊，故由LaSalle不變集原理得到E5是全局漸近穩定的。

4 結 論

由上述討論可知，在所討論的模型中，系統的平衡點E0，E1，E2存在，但是不穩定。當a＞m時，亦即食餌的內稟增長率大于捕食系數時，系統存在無病平衡點E3，且當閾值R≤1時，無病平衡點E3是全局漸近穩定的，即疾病將逐漸消亡；當a＞m及R＞1時，系統存在地方病平衡點E5，且E5是全局漸近穩定的，即疾病流行，逐漸變為地方病。

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