拉伸損傷細觀機理的彈性力學分析

崔 崧，陳嵐峰

（沈陽師范大學 物理科學與技術學院，沈陽 110034）

0 引 言

損傷力學是研究含缺陷固體材料破壞過程理論的一門學科，它有2個主要分支：連續損傷力學與細觀損傷力學，兩種方法都有學者作了大量的工作［1－12］。基于細觀的唯象損傷理論的研究看來是今后損傷本構理論研究的發展趨勢［13］，通過對這種宏細觀相結合損傷理論的研究，可在材料的細觀結構的演化與宏觀力學相應之間建立起某種聯系。

利用彈性力學理論中平面應力問題的復變函數解答［14－15］，在遠端受均布拉伸應力的無限大薄板上截取一個含一條裂紋的單元體，可求出單元體在邊界及裂紋所在平面處的位移場，通過平均化得到單元體的平均線應變并分析了這種線應變與單元體中裂紋幾何尺寸之間的聯系，利用彈性拉伸本構關系，可得到彈性拉伸損傷細觀機理的某些解釋，這種理論是適用于脆性和準脆性材料的，同樣的方法已經分析了彈性剪切損傷的細觀機理［16］。

1 遠端受拉伸薄板內部的位移場

根據彈性力學理論，平面應力情況下的位移分量的復變函數表示式為［14］

式中：E為材料楊氏模量；μ為泊松比；φ1（z）、ψ1（z）為變量z＝x＋iy的復變函數。若已知其表達式，代入式（1）中并將右邊的實部和虛部分開，便可得到材料內任一點（x，y）的位移分量u和v；

如圖1所示，考慮一個內部含一條裂隙的無限大薄板，裂隙沿x方向，長度為2a，遠端在垂直于裂隙方向（y向）上受有均布拉伸載荷q，則上式中的復變函數φ1（z）、ψ1（z）可表示為［14］

將式（2）對z求導，可得式（1）中的φ′1（z）。

由式（1）、式（2）、式（3），可求出裂紋面上（y＝0）的位移分量v為

而通過y軸的截面（x＝0）上，有位移分量u＝0。

圖1 遠端受均勻拉伸載荷的薄板

2 含裂紋單元體拉伸本構關系的細觀描述

在圖1中薄板的裂紋周圍截取一塊單元體，如圖2所示，裂紋對稱位于單元體中央，單元體長度為2l，高度為2h。取單元體的四分之一進行分析，如圖3所示，設y＝h和y＝0截面處的位移分量v的平均值分別為和；x＝l和x＝0截面處的位移分量u的平均值分別為和，則研究對象沿x、y軸的基體平均線應變分別為

圖2 中心含裂紋的單元體

在圖3中的截面y＝h上取多個節點，按式（1）、式（2）、式（3）計算各個節點上的位移分量vi，可得到截面y＝h上位移v的平均值＝∑vi／n，從而可得到式（5）中沿y軸方向的總體線應變形式如下

其中，f1，f2是a／l及l／h的函數。

若確定f1的形式，可先令幾何尺寸l／h保持一個恒定值不變，通過改變a／l的值，得到不同的f1值，從而確定在恒定的l／h下，f1與a／l的函數關系。例如，取l／h＝1時，有f1和a／l的若干個對應點，如圖4所示。可設

采用最小二乘法，可確定上式中的參數k2和k3，模擬曲線如圖4所示。

圖3 單元體的線應變分析

圖4 恒定時與的關系

依次取不同的l／h，利用上述彈性理論分別計算f1值，可知在其他l／h值下，f1與a／l的對應函數關系仍然類似于式（7），只是不同的l／h對應于不同的參數值k2和k3。分別計算不同l／h下的參數k2和k3，可得l／h與k2和k3的若干個對應點，分別如圖5、圖6所示，對應的函數關系都類似于直線，可設

采用最小二乘法，可求得上式中的系數α0、α1、α′0、α′1。模擬的直線分別見圖5和圖6。將式（8）代入式（7），得

圖5 參數與的關系

圖6 參數與的關系

同理可確定函數f2的形式如下

其中，系數β0、β1、β′0β′1β′2和β′3同樣可由最小二乘法求出。

由式（6）可得

圖3中y＝0截面處的位移分量v的平均值可根據式（4）按以下方法計算

所以沿y軸方向的基體平均線應變為

對于脆性和準脆性材料，可以認為到破壞以前其力學行為都是彈性的，所以對于單元體，有

式（15）是給定的應力狀態下得到的單元體本構關系，但是可認為適用于裂紋張開時的任何應力狀態。設單元體在y軸方向上受單向拉伸，將＝0＞0代入上式，則可得到

則裂紋體的有效彈性模量為

式（16）和式（17）就是脆性和準脆性材料的彈性拉伸損傷的細觀機理的描述。

假設此平面問題下的薄板含有若干均勻分布的平行微裂紋，微裂紋半長仍為a，則單位面積內的微裂紋數為N＝1／4hl，令微裂紋密度參數f＝Na2，利用式（17）可描繪出ˉE／E隨微裂紋密度參數f的變化曲線，如圖7所示，其中μ＝1／3，l／h＝1。

3 結 論

利用彈性力學中的復變函數法分析了含裂紋單元體的拉伸應力－應變本構方程，從而解釋了拉伸損傷與裂紋及單元體幾何尺寸之間的關系，具有較為明確的物理意義，結合之前用相同方法研究過的剪切損傷機理，可建立拉伸與剪切損傷變量之間的某種聯系。這種方法可推廣至分析含任意方向裂紋單元體的剪切和拉伸細觀損傷機理，進一步建立含隨機裂紋材料的損傷理論。

圖7 彈性模量與微裂紋密度參數的關系曲線

［1］KRAJCINOVIC D，FONSEKA G U.The continuous damage theory of brittle materials［J］.J Appl Mech，1981，48（4）：809－824.

［2］TALREJA R.Damage development in composites：mechanics and model［J］.J Strain Anal Eng，1989，24（4）：215－222.

［3］SWOBODA G，YANG Q.An energy－based damage model of geomaterials（part 1and part 2）［J］.Int J Solids Struct，1999，36（12）：1719－1755.

［4］DRAGON A，HALM D，DESOYER T.Anisotropic damage in quasi－brittle solids：modeling，computational issues and applications［J］.Comput Methods Appl Mech Eng，2000，183（3／4）：331－352.

［5］BENVENSITE Y.On the Mori－Tanaka's method in cracked solids［J］.Mech Res Comm，1986，13（4）：193－201.

［6］HUANG Y，HU K，CHANDRA A.A generalized self－consistent mechanics method for microcracked solids［J］.J Mech Phys Solids，1994，42（8）：1273－1291.

［7］BASISTA M，GROSS D.The sliding crack model of brittle deformation：an internal variable approach［J］.Int J Solids Struct，1998，35（5）：487－509.

［8］沈真.損傷力學及其在復合材料中的應用［J］.力學進展，1985，15（23）：147－160.

［9］沈為.復合材料損傷－破壞機制與模型［J］.力學與實踐，1991，13（3）：1－16.

［10］LADEVEZE P，DANTECE L E.Damage modeling of the elementary ply for laminated composites［J］.Comp Sci Tech，1992，43（3）：257－267.

［11］崔崧，黃寶宗，張鳳鵬.準脆性材料的彈塑性損傷耦合模型［J］.巖石力學與工程學報，2004，23（19）：3221－3225.

［12］馮西橋.脆性材料的細觀損傷理論和損傷結構的安定分析［D］.北京：清華大學，1995.

［13］余壽文，馮西橋.損傷力學［M］.北京：清華大學出版社，1997.

［14］徐芝綸.彈性力學：上冊［M］.4版.北京：高等教育出版社，2006.

［15］陸明萬，羅學富.彈性理論基礎：下冊［M］.2版.北京：清華大學出版社，2001.

［16］崔崧，陳嵐峰.剪切損傷細觀機理的彈性力學分析［J］.沈陽師范大學學報：自然科學版，2013，31（1）：21－24.