三維歐氏空間中的達布曲線

于延華，楊 云，劉會立

（東北大學 理學院，沈陽 110004）

0 引 言

曲線的達布向量和曲線的從切平面對于研究空間曲線的性質有很重要的作用，在實際運用中，特別在物理學、運動學上曲線的達布向量和曲線的從切平面一直為人們所關注［1］。在微分幾何中，特別是空間曲線的理論中，達布向量是空間曲線Frenet標架的局部速度向量，是由Gaston Darboux發現并根據他來命名的［2－3］。因為達布向量與角動量有直接的關系，所以它也叫做角動量向量。假如一個物體沿著一個正則曲線移動，運用空間曲線的Frenet標架，物體的運動可以用2個向量進行描述：轉換平移向量和旋轉向量，旋轉向量也就是達布向量。這種旋轉是運動學上的概念，而不是物理學上的概念，因為物體在空間中自由運動時它的旋轉和它的轉換平移是相互獨立的［4］。達布向量為解釋曲率和撓率提供了一種簡潔的方式：曲率是達布向量沿單位副法向量的變化量，撓率是達布向量沿單位切向量的變化量。

在微分幾何中，貝特朗曲線及其侶線，曼哈姆曲線及其侶線已得到廣泛研究。本文研究新的一類曲線—— 達布曲線和達布侶線［5－8］。

1 預備知識

在歐氏空間中，用〈x，y〉表示向量x＝（x1，x2，x3）和y＝（y1，y2，y3）的外積。假設r：I→R3是一條曲線且r′≠0，其中用表示向量x的長度（或稱為模）。曲線r的弧長參數s由公式決定。

規定α（s）＝˙r（s），并稱α（s）為曲線r在s處的單位切向量。曲線r的曲率定義為如果κ（s）≠0，則曲線r在s處的單位主法向量β（s）定義為單位向量γ（s）＝α（s）×β（s）稱為曲線r（s）在s處的單位副法向量。

則Frenet－Serret公式

式中，τ（s）＝〈β′（s），γ（s）〉稱為曲線r在s處的撓率［9］。

包含向量｛α，β｝的平面稱為密切平面，包含向量｛α，γ｝的平面稱為從切平面，包含向量｛β，γ｝的平面稱為法平面［10］。

對任何單位速度曲線r：I→R3，稱向量D（s）＝τ（s）α（s）＋κ（s）γ（s）為曲線r在s處的達布向量場。對于達布向量場有以下的Frenet－Serret公式：

定義1 如果曲線r的切線和固定方向成定角，則曲線r稱為螺旋線［12］。如果κ≠0，則曲線是螺旋線的充分必要條件是＝常數。

定義2 經過空間曲線r上的點P，且與點P的達布向量平行的直線稱為曲線r在點P的達布線。

定義3 如果曲線C和的點之間建立這樣的一一對應關系，使得在對應點的達布線重合，則這兩條曲線都稱為達布曲線。而每一條稱為另一條的達布侶線。也稱曲線C和為達布曲線對。在對應點達布線重合的2條曲線和r可以表達為

2 主要定理

定理1 2條曲線的主法線平行的充分必要條件是它們的達布線平行。

證明 先證必要性。

由2條曲線的主法線平行可設

從而式（1）兩邊同時對參數s求導可得

由式（1）和式（2）得

即

再證充分性。

根據等式（4）兩邊同時對參數s求導可得

由式（4）和式（5）得

由2條曲線的達布線平行可設

則式（7）兩邊同時對參數s求導可得

由式（7）和式（8）有

定理2 2條曲線的主法線平行，則它們在對應點的切向量成固定角。

證明 根據已知條件有∥β，則

設曲線r與曲線的主法線平行，且在對應點的切向量之間的角度為θ，由定理2知，θ為常數，則兩條曲線的標架有如下關系：

式中，s、α、β、γ和分別為曲線r與曲線的弧長、單位切向量、單位主法向量和單位副法向量。

這2條曲線的撓率和曲率之間的關系為：

式中，κ、τ和分別為曲線r與曲線的曲率和撓率。

由式（13）可得

結合定理2，有下列推論：

推論1 2條曲線的達布線平行，則它們在對應點的切向量成固定角。

推論2 2條曲線的主法線平行，則它們的曲率和撓率之間的關系滿足公式［14］。

推論3 2條曲線的達布線平行，則它們的曲率和撓率之間的關系滿足公式［14］。

推論4 2條曲線為Bertrand曲線對，則它們的曲率和撓率之間的關系滿足公式［14］。

推論5 螺旋線的達布侶線仍是螺旋線。

定理3 一般螺線是達布曲線。

證明 取＝常數，設曲線r為一般螺線，考慮曲線

曲線（15）兩邊對s求導，由＝常數，則上式兩邊再對s求導：

即有，由定理1得∥D，則曲線是曲線r的達布侶線。由推論5知曲線也是一般螺線。定理3證明完畢。

定理4 2條曲線為達布曲線對的充分必要條件是在對應點它們的從切平面重合。

證明 先證必要性。設曲線和r為達布曲線對，則有如下表達式：

由于曲線和r為達布曲線對，則，由定理1得.另一方面，根據，可得：＝0，從而曲線和曲線r在對應點的從切平面重合。

再證充分性。

假設曲線和曲線r具有相同的從切平面，不失一般性，可設

式（16）兩邊分別對s進行微分，可以得到

因為曲線和曲線r在相應點的從切平面重合，可以得到。

根據和定理1得，結合式（18）可知，曲線ˉr的達布線與曲線r在對應點的達布線重合。則定理4證明完畢。

如果曲線r是一條達布曲線，ˉr＝r＋λD是它的一條達布侶線，則有

結合式（12），可以得到

其中，θ為常數且θ∈［0，π］。

定理5 一條空間曲線r（s）是達布曲線的充要條件是存在函數λ（s），使得這條曲線r（s）的曲率κ（s）和撓率τ（s）滿足其中θ為常數且θ∈［0，π］。

證明 必要性已證，現證充分性即證明曲線

是曲線r的一條達布侶線。

1）如果θ＝0或π，則（λκ）′＝0，等式（20）兩邊對s求導數，得

等式（21）再次對s求導數，得

等式（20）兩邊對s求導數，得

再次對s求導數，得

結合式（23）、式（24）和式（25），則有由定理1得則定理5證明完畢。

推論6 2條曲線和r為達布曲線對，即如果

其中n＝2，3，…。

證明 根據定理5和式（19），運用數學歸納法可以得到結論。

定理6 如果曲線r的達布侶線是曼哈姆曲線，則曲線r的曲率κ和撓率τ滿足以下關系：

其中C，C0，θ為常數。

證明 解微分方程（19）式，可得

其中C和θ為常數。根據式（13）有

若曲線是曼哈姆曲線，則有常數結合式（19）和式（27），定理6可得證。

定理7 如果2條曼哈姆曲線是達布曲線對，則每條曲線的曲率κ和撓率τ滿足以下關系：

其中，C，和θ為常數。求導數消去常數，則定理7證明完畢。

3 結 論

主要討論了三維歐氏空間的達布曲線、2條曲線的主法線平行的充分必要條件是它們的達布線平行。在三維歐氏空間中，位置向量一直位于從切平面上的曲線稱為從切曲線。根據達布向量的表達式，達布向量一直位于從切平面上。這樣，位置向量是達布向量的曲線就是特殊的從切曲線。本文得到曲線的達布向量和從切平面具有這樣的等價關系：兩條曲線為達布曲線對的充分必要條件是在對應點它們的從切平面重合。

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