雙參數C半群的Laplace變換的反演

趙華新，徐 敏，趙 拓

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

0 引 言

隨著對半群理論的深入探討，文獻［1－3］給出了單參數C半群的若干性質及應用，文獻［4］給出了廣義C半群的生成元和性質，文獻［5－6］研究了積分C半群、n次積分C半群的表示定理，文獻［7］給出了雙參數算子半群的定義及其一些基本性質，Pazy A［8］系統的研究了C0半群的性質及應用。劉春景等人在文獻［9］中結合α次積分半群的Laplace逆變換的性質，導出指數有界α次積分半群的Laplace逆變換的形式，討論了C半群的Laplace逆變換的形式，并根據n次積分C半群與C半群的關系進而得到了n次積分C半群的Laplace逆變換的形式。蔡亮等人在文獻［10］中將單參數C0半群預解式的一些性質推廣到了雙參數C0半群上。文獻［11］給出了雙參數C半群及其無窮小生成元的相關性質及Hill－Yosida定理。本文基于以上的研究，給出了雙參數C半群的Laplace變換的反演。

本文中X是Banach空間，所有算子都是線性算子，B（X）表示X上的有界線性算子全體，I∈B（X）為恒等算子，C∈B（X）為單射算子。

1 概念與引理

定義1［12］設C為X上的有界單射算子，若X上的算子族｛S（s，t）｝s，t≥0?B（X）滿足

1）S（0，0）＝C；

2）CS（（s1，t1）＋（s2，t2））＝S（s1，t1）S（s2，t2），s1，t1，s2，t2≥0；

3）映射 （s，t）→S（s，t）x強連續，對?s，t≥0，?x∈X；

4）?Μ≥0，α，β∈R，使得‖S（s，t）‖≤，s，t≥0。

則稱｛S（s，t）｝s，t≥0為雙參數強連續C半群，簡稱雙參數C半群。

定義2［13］雙參數C半群的無窮小生成元是線性變換L：R×R→B（X），其定義為：

其中，A1，A2分別是單參數C半群｛S（s，0）｝s≥0和｛S（0，t）｝t≥0的無窮小生成元，即

很容易得到A1，A2分別是單參數C半群S（s，0）s≥0和S（0，t）t≥0的無窮小生成元。

引理1［14］設A是滿足‖T（t）‖≤Meωt的C半群｛T（t）｝t≥0的無窮小生成元。又設μ是實數，μ＞ω≥0和Aμ＝μAR（μ，A）＝μ2R（μ，A）－μI是A的Yosida逼近，則對于有

引理2［14］設A是滿足‖T（t）‖≤Meωt的C半群｛T（t）｝t≥0的無窮小生成元。λ＝γ＋iη，γ是固定的，則對一切x∈X，有R（λ，Aμ）Cx＝R（λ，A）Cx，并且對?y＞0，極限關于｜η｜≤y是一致的。

引理3［15］設A是滿足‖T（t）‖≤Meωt的C半群｛T（t）｝t≥0的無窮小生成元。則對?x∈X，λ∈ρC（A）有

2 主要結論

定理1 設B＝（B1，B2）是有界線性算子，如果r＞‖Bi‖，（i＝1，2），那么

中的收斂是依一致算子拓撲的，并且在s，t的有界區間上是一致的。

證明 設γ＞‖Bi‖，（i＝1，2）。取r使得γ＞r＞‖Bi‖，有

并在Cr上逐項積分得

又因為上式在Cr的外部解析且

所以由Cauchy積分定理可得積分路徑由Cr移動到Rez＝r上，從而

定理證畢。

定理2 設A＝（A1，A2）是雙參數C半群｛S（s，t）｝s，t≥0的無窮小生成元，滿足‖S（s，t）‖≤，且γ＞max｛0，ω1，ω2｝，如果x∈D（A1）∩D（A2）和C2＝C，那么

并且右端的積分在t的有界區間上關于t一致收斂。

證明 設有固定值得θ1，θ2＞0，且令

兩邊同時進行累次積分得

令k→∞，由引理1得

這能夠通過λ－1R（λ，Aθi）x，（i＝1，2）在路徑Γk上的積分推出，這里Γk由和半圓組成，當k→∞時，

對于｜λ｜≥δ成立知沿著的積分趨于0。

所以得

如果γ＞max｛ω，0｝，由引理2顯然存在φ≥0，φ≥0使得θ1≥φ，θ2≥φ，｛λ：Reλ≥γ｝?ρ（），｛μ：Reμ≥γ｝?ρ（Aθ2）和x∈D（A）

由此，可以將積分路徑從Reλ＝δ移到Reμ＝γ得

由引理3和式（2）得

定理證畢。

3 結 語

本文以單參數C半群生成定理的Laplace刻畫為基礎，結合雙參數C半群的指數公式，推導出雙參數C半群的兩種Laplace逆變換的形式。這些理論使得算子半群的內容更加豐富。

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