關(guān)于多元多項(xiàng)式的因式分解

姜 文 英

(衡水學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，河北 衡水 053000)

多元多項(xiàng)式是一元多項(xiàng)式的推廣，是多項(xiàng)式理論研究的重要對(duì)象．它不但與高次方程的討論有關(guān)，而且在進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)以及其它數(shù)學(xué)分支時(shí)也都會(huì)碰到．多元多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一，又是一個(gè)在數(shù)學(xué)科學(xué)中既重要又極為困難的問(wèn)題，還是符號(hào)計(jì)算和計(jì)算機(jī)自動(dòng)推理中的最基本算法之一．

1 帶余除法分解因式

定義[1]若 f （ x1, x2,..., xn）與 g （ x1, x2,..., xn-1）是F ［ x1, x2,..., xn］中的任意2個(gè)多項(xiàng)式，則存在唯一的一對(duì)多項(xiàng)式q （ x1,x2,..., xn）與r （ x1, x2,..., xn-1），使得

r （ x1, x2,..., xn-1）與q （ x1, x2,..., xn）分別叫做 xn-g （ x1, x2,...,xn-1）除f （ x1, x2,..., xn）所得的余式和商式．

定理1[1]f （x1,x2,..., xn-1, g （ x1, x2,...,xn-1））=0 的充分必要條件是f （ x1, x2,..., xn） 能被 xn-g （x1, x2,...,xn-1）整除．

例1 把多項(xiàng)式x3+ y3+ z3- 3xyz 寫成2個(gè)多項(xiàng)式的乘積．

解 令 f （ x , y ,z ）= x3+ y3+ z3-3xyz ，

由定理1 知x + y+z 整除 f （ x , y ,z ） ，視x 為未知量， y 、 z 為已知量，用一元多項(xiàng)式里的帶余除法，以x + （ y +z）除x3- （ 3yz ）x +（ y3+z3），有

2 二次型法分解因式

定理2[2]一個(gè)實(shí)二次型 q （ x1, x2,..., xn）可分解為2個(gè)實(shí)系數(shù) n 元一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充要條件是，或者 q的秩等于1，或者 q 的秩等于2 且符號(hào)差等于0．

例2 在實(shí)數(shù)域上分解因式：

解 令 q （ x , y , z , t ） =-3 xy + 18 xz - 6 xt - 2 z2+ 17yz -5 yt - 30 z2+ 16 zt -2t2， 則f （ x, y ,z ）可分解為2個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積的充要條件是q （ x, y , z ,t ）可分解為2個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積，而

所以 f （ x , y ,z ）=(3x + 2 y - 5 z+ 1)(-y + 6 z-2)．

3 導(dǎo)數(shù)法分解因式

定理[3]關(guān)于多項(xiàng)式 F （ x1,x2,..., xn），對(duì)于某個(gè) xi（ i = 1,2,...,n），若 F 'xi（ x1,x2,...,xn）與F （x1, x2,...,xi-1,0, xi+1,...,xn）有公因式，則 F （ x1, x2,..., xn）可以因式分解，且至少有因式d （x1, x2,...,xi-1,0, xi+1,...,xn）．

例3 分解因式：（ x + y ）2（ - x + y + z ）（ z + x - y ） + （ x - y ）2（x + y + z ）（ x + y - z）．

解 把 x、 y 看成給定數(shù)域 P 中的數(shù)，原多項(xiàng)式即是關(guān)于 z 的多項(xiàng)式，可以化為：

f ' （z ）與 f（ 0）有公因式，故可以導(dǎo)數(shù)法分解f（ z ）．

因此（ x + y ）2（ - x + y + z ）（ z + x - y ） + （ x - y ）2（x + y + z ）（ x + y-z ）= 4xyz2．

[1]劉功琴.多元多項(xiàng)式的因式分解[J].川北教育學(xué)院學(xué)報(bào),1998,8(4):67-70.

[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前……