動靜相融 降維轉化 兩法結合——例談解決立體幾何背景下的解析幾何問題的有效策略

●張春杰

(學軍中學 浙江杭州 310012)

動靜相融降維轉化兩法結合——例談解決立體幾何背景下的解析幾何問題的有效策略

●張春杰

(學軍中學 浙江杭州 310012)

立體幾何和解析幾何問題是高中數學的難點和熱點，以立體幾何為載體、以解析為嵌入的問題在各類考試中頻繁出現.這要求學生既要有比較好的空間思維能力，又要有細致的計算能力,能有效地體現學科的交叉、數學思想的融合.這里針對不同的問題類型，探討解題方法，挖掘解題策略，實現解題的有效性.

1 幾何法和代數法解決立體幾何背景下的橢圓問

題例1

( )

A．30° B．60° C．90° D．120°

圖1 圖2

圖3

點評立足于條件的融合，選擇不同的轉化角度，從2個不同的角度去解決問題，從三維到二維，從變化的條件中整合恒定的特征，這是解決立體幾何背景下解析幾何問題的有效策略.

2 降維轉化，合理利用定義，有效解決拋物線的軌跡問

題例2

如圖4，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AD=2，AB=2,AA1=1,點P是矩形ABCD內一動點.若點P到A1D1距離的平方比P到BB1距離的平方大1，則動點P的軌跡是______圖形的一部分.

分析因為高是1，降維轉化為在底面上點P到直線A1D1的距離和點P到點B1的距離相等，故點P的軌跡是拋物線的一部分.

點評關鍵是要把題中的條件歸結在同一個平面上，利用拋物線的定義，合理解決.

圖4 圖5

3 把空間垂直和平面垂直有效結合起來，合理解決復雜的軌跡問題

例3在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別是AC′,A′B′的中點．點P在正方體的表面上運動，則總能使MP與BN垂直的點P所構成的軌跡周長等于______．

點評該問題的核心是如何轉化垂直，這里巧妙地利用三垂線定理，并且題中條件點M為定點，點P為動點，一靜一動，抓住點M的射影是定點，一切迎刃而解.

4 在坐標系下，標注特征，數形結合，有效解決圓的問題

例4

如圖6，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α，AB=2BC=2CD=4，點P為α內一動點，且∠APB=∠DPC，則點P的軌跡為

( )

A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線

圖6 圖7

分析如圖7構建坐標系，則B(-1，0，0)，

C(1，0，0).令P(x,y,0),由∠APB=∠DPC,得

tan∠APB=tan∠DPC，

從而

即

PB=2PC,

化簡得

x2+y2-4x+1=0(圓的一般方程).

點評求解該問題的關鍵在于構建空間坐標系，把幾何問題代數化，直觀，易于處理.

5 策略提升，啟迪思維，形成解法

不管是幾何策略還是代數策略，都需要分析問題包含的不變特征，動的是什么，靜的是什么，變的是什么，不變的是什么，有機整合，合理運用，化難為易，數形結合，形成解決立體幾何背景下解析幾何問題的有效策略(如圖8所示).

圖8