一道高考模擬題的多視角探究與思考

●邱慎振

(豐縣民族中學 江蘇徐州 221700)

一道高考模擬題的多視角探究與思考

●邱慎振

(豐縣民族中學 江蘇徐州 221700)

1 問題提出

題目已知等腰△ABC的腰AC的中線BD長為3,則△ABC面積的最大值為______.

這是一道高考模擬題，該題的得分很低,分析原因:(1)很多學生找不到變量建立目標函數；(2)有的學生計算不過關；(3)平時教學缺乏引導探究和歸納總結,導致該題失分較多.為此筆者充分調動學生的積極性,深挖題目條件,通過師生共同合作,從不同視角對該題進行一一探究.

2 探究過程

視角1

圖1

師:從條件與結論可以聯想三角形的面積公式有哪些?

生：解法1如圖1，設AB=AC=2x,則AD=x.由三角形面積公式知

師:上式含有2個變量，因此,我們必須轉化為一個變量來求最值.

生:在△ABD中,由余弦定理得

因此S△ABC= 2x2sinA=

點評大部分學生都能夠想到解法1，目標式中含有2個變量，消除變量是難點.解法1通過消除一個變量角，統一利用長度作為自變量來求最值,然后通過配方法來求最大值.當然,在求解過程中,也可以消去變量,用角度作為變量來求最值.

在△ABD中,由余弦定理得

從而

因此

師:如何求其最值?

生:求導可得

點評解法2用角度作為自變量,通過求導,判斷函數的單調性來求函數的最大值.在這里容易忽略判斷函數的單調性.

師：還可以用什么方法來求最值?

生：可以用三角函數的有界性,將兩點連線的斜率萬能代換后借助于基本不等式來求.

師：大家總結得很好!可以把這些方法記下來,作為課外作業來練習.下面我們從另一面積公式來求最值,如何來建立目標函數?

圖2

生:解法3如圖2，設BC=2y,AB=AC=2x,則AD=x,過點A作AE⊥BC,從而

師:表達式中含有2個變量,因此考慮消除一個變量,必須尋求變量x與y之間的等量關系.只有通過中線BD=3,∠ADB+∠CDB=π來考慮.

在△ABD中,由余弦定理得

AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,

即 4x2=x2+9-6xcos∠ADB.

(1)

在△BCD中,由余弦定理得

BC2=CD2+BD2-2CD·BD·cos∠CDB,

即 4y2=x2+9-6xcos∠CDB.

(2)

式(1)+式(2),得

4x2+4y2=2(x2+9).

從而

4x2=36-8y2,

點評本解法容易想到,但尋求變量x與y之間的等量關系是關鍵.由于學生不知道中線長公式,從而造成一定的困難,通過余弦定理建立變量之間的關系，最后借助基本不等式或配方來求得最值.這種方法有些困難,還有其他方法嗎?

生:用坐標法比較簡單.

視角3建立坐標系,從坐標入手

生:解法4如圖3，設A(0,b),B(-a,0),C(a,0).由BD=3得

從而

9a2+b2=36,

點評解法4采用坐標法,借助于基本不等式求最值,簡潔明了,是學生容易想到的一種解法.解法4體現了解析法的優點，有學生提出“能否把BD放在x軸上來建系”,根據該學生的提議有了下面的探究解法.

圖3 圖4

師:由上式可知三角形的面積變化是由點A的變化引起的,因此,可以聯想到點A的軌跡是什么，如何求?

生：在點A變化過程中不變的是|AB|=2|AD|，坐標帶入可以得到點A的軌跡方程,即

化簡得

0<|y|≤2,

即

S△=3|y|≤3×2=6.

點評解法5也是坐標法,但把BD放在x軸上很難想到.通過S△ABC=2S△ABD,只要求點A到x軸的最大距離即可.求點A的軌跡,中間涉及到阿波羅斯圓(平面內到2個定點的距離之比為正數λ(λ≠1)的動點的軌跡).

師:從中線出發，還可以聯想到什么？

生:三角形的重心.

師:聯結重心與三角形的3個頂點，把三角形分成3個小三角形,這3個小三角形面積如何求?

視角4從平面幾何知識入手

生：解法6如圖5，取AB,BC的中點F,E，然后聯結CF,AE，△ABC的3條中線相交于點G,因此點G為△ABC的重心，從而

S△ABD=S△BCD,

進而

S△GBA=S△ABD-S△GAD,

S△GBC=S△BDC-S△GDC,

因此

S△GBA=S△GBC.

同理可得

S△GBA=S△GAC,

故

S△GBA=S△GAC=S△GBC.

師:如何求最值?

生:因為S△ABC=3S△GBC,又點G為△ABC的重心，于是

從而

GB=GC=2，

故

S△ABC=6sin∠BGC≤6.

點評解法6從中線聯想到三角形3條中線交于一點,聯結重心G和3個頂點,把三角形分成面積相等的3個部分,然后借助于重心知識求得GB=GC=2,從而借助三角有界求得最大值.通過上面求解的過程可以聯想到解法7.

圖5 圖6

生：解法7如圖6,過點D作DE⊥BC于點E,過A作AF⊥BC于點F.由中線可知

從而

又因為

9=BD2=DE2+BE2≥2BE·DE,

所以

故

當且僅當BE=DE時等號成立.

點評解法7通過等腰三角形中線和高,把求S△ABC的最大值轉化為求S△BDE的最大值.通過勾股定理及基本不等式求得最大值.

3 教學思考

本題簡潔樸素,以能力立意命題為指導思想,將知識、能力和思想方法融為一體,較全面地檢測了學生的數學素養.該課達到了預設要求,由于容量大,后面時間安排有些緊張.對于高三復習課，筆者有一些自己的想法.

(1)夯實基礎,優化知識結構.基礎知識的熟練掌握,可以形成對數學知識的深入理解,注重知識間的相互滲透.通過一道典型的題目,盡量多角度、多層面進行思考和探究.做到一題多解,不斷總結解題思路與方法,優化知識網絡結構,同時夯實基礎.

(2)注重題目的選取,凸顯數學思想和方法.在高三的緊張復習中,教師要打造高效課堂.在教學中要遴選一些典型題目,要有意識地進行解題方法的提煉,進行數學思想方法的滲透.要發揮題目的功能性和導向性,學生能夠從中掌握這些思想與方法,能夠解決相關問題,通過這些題目能夠提高學生的數學技能,這樣才能達到事半功倍的效果.

(3)優化課堂,加強對題目的探究.在課堂中不能只滿足于問題的解決或獲得答案,而要對問題進行深入探究與思考.否則,教學的功能性大打折扣,課堂教學低效.因此,教師在課堂中要引導學生多角度、多層次去探究問題,為學生搭建良好的平臺，拓寬學生思維的靈活性與廣闊性,培養學生的思維品質,提高學生的數學素養.

[1] 劉錫鳳.引導學生探究 展現思維過程——例談開發數學題的教育功能[J].中學數學,2013(1):9-10.

[2] 紀堯兵.引導探究考題 優化思維品質——從一道函數高考題談起[J].中學數學,2013(1):44-45.