巧妙轉(zhuǎn)化 別樣精彩

●史日能

(余姚市第七中學(xué) 浙江余姚 315450)

巧妙轉(zhuǎn)化別樣精彩

●史日能

(余姚市第七中學(xué) 浙江余姚 315450)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，轉(zhuǎn)化和化歸思想占有相當(dāng)重要的地位,要求教師在每節(jié)課上努力培養(yǎng)學(xué)生的自覺轉(zhuǎn)化意識(shí).對(duì)每個(gè)定理、公理、法則的本質(zhì)有深刻理解，對(duì)典型習(xí)題進(jìn)行總結(jié)和提煉，有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系.下面談?wù)勣D(zhuǎn)化和化歸涉及的主要類型,與大家共享．

1 陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化

當(dāng)我們面對(duì)一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜或陌生的題目時(shí)，通過恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素(如構(gòu)造坐標(biāo)系),改變題目形式,溝通條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系,把陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題.

圖1

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

2 主元與輔元的轉(zhuǎn)化

有些數(shù)學(xué)問題若能打破常規(guī),反客為主,往往能打破僵局,突破“重圍”.

(a2-3a)t4+2at3+(2a-2)t2+2t-2<0.

(1)

式(1)是關(guān)于t的四次不等式，不易證明.重新審視式(1)：2個(gè)變量中，t的最高次數(shù)為4，而a的最高次數(shù)為2，何不把它視為關(guān)于a的二次不等式呢？不妨一試．

證明令f(a)=t4a2-(3t4-2t3-2t2)a-2(t2-t+1),a∈[0,1],從而轉(zhuǎn)化為證明f(a)<0恒成立.因?yàn)閒(a)為開口向上的拋物線,所以

f(a)max=max{f(0),f(1)},

且

f(0)=-2(t2-t+1)<0,

f(1)=-2(t-1)2(t+t+1)<0,

可得f(a)<0在(0,1)上恒成立，即原不等式得證.

評(píng)注本題通過主元t與輔元a的相互轉(zhuǎn)化，換位思考，使陷入僵局的問題得以順利解決，真是山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村．

例3已知0

(第15屆全俄數(shù)學(xué)競賽試題)

分析設(shè)f(x)=(1-y-z)x+y+z-yz-1,x∈[0,1],因?yàn)閒(0)=(y-1)(1-z)<0,f(1)=-yz<0,所以對(duì)任意x∈(0,1)都有f(x)<0,即

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

評(píng)注該不等式為三元不等式，有代數(shù)證明、幾何證明、概率證明等多種方法，但是這些證法均需要較強(qiáng)的技巧性，不易想到.只需化三元為一元,就能揪出真正的“幕后主使”,使問題迎刃而解.

3 一般與特殊的轉(zhuǎn)化

為了尋求解決一般數(shù)學(xué)命題的方法,我們常從特殊的、具體的命題中去探究一般性的結(jié)論，這也是“以退為進(jìn)”的思維策略.另一方面,有些特殊問題的條件比較隱蔽或計(jì)算量大,可先考慮一般性問題,找到普遍性的規(guī)律,再回到特殊問題上,使問題出現(xiàn)新的轉(zhuǎn)機(jī).

圖2 圖3

分析如圖3，取圖形的特殊位置，使點(diǎn)P與橢圓短軸的上端點(diǎn)B重合，則在Rt△BF1O中，

|F1B|=a=10,|F1O|=c=6.

因?yàn)镕1I平分∠BF1O,所以

評(píng)注一般成立，特殊也成立,于是由特殊可得到一般性的規(guī)律.本題中的條件并沒有限定點(diǎn)P在橢圓上的位置，說明所求的結(jié)論與點(diǎn)在橢圓上的位置無關(guān)，從而可選擇最便于自己計(jì)算的特殊點(diǎn)去求，甚至可以做到“秒殺”.

圖4

證明如圖4,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,令|F2P|=m,|F2Q|=n,則

|F1P|=2a-m,|F1Q|=2c-n.

因?yàn)镻Q平分∠F1PF2,所以

即

因此

又F2I平分∠PF2Q,故

例5計(jì)算:

分析設(shè)2 010=n,則原式=

-(n-2)(n+2)=

|n2-5|-(n2-4)=

(n2-5)-(n2-4)=-1.

評(píng)注本題中由于數(shù)字較大,難以用常規(guī)方法計(jì)算,為此把數(shù)字問題轉(zhuǎn)化為字母問題(一般化),使數(shù)字間的關(guān)系更加突出,規(guī)律更明顯,解題更輕快.

4 高維與低維的轉(zhuǎn)化

事物的空間形式表現(xiàn)為不同的維數(shù)，并且遵循由低維到高維的發(fā)展規(guī)律，通過降維轉(zhuǎn)化，可以把問題由一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)化到另一個(gè)領(lǐng)域給予解決，這種問題在立體幾何中普遍存在.

圖5 圖6

分析聯(lián)結(jié)A1B，沿BC1將△CBC1展開與△A1BC1在同一平面內(nèi)，如圖6，聯(lián)結(jié)A1C，則A1C的長度即為所求的最小值．由計(jì)算得

從而

∠A1C1B=90°.

因?yàn)椤螧C1C=45°,所以

∠A1C1C=135°,

評(píng)注本題把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題,把沿表面兩距離和問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離問題,實(shí)現(xiàn)了化“高山”為“平地”，變“坎坷”為“坦途”.

5 靜止與運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)化

運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化．

例7如圖7，直線l⊥平面α，垂足為O，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=5,AB=6,AD=8,該長方體作符合以下條件下的自由運(yùn)動(dòng)：(1)A∈l,(2)C∈α,則點(diǎn)C1,O間的最大距離為______．

(2011年浙江省金華市十校數(shù)學(xué)模擬高考試題)

圖7 圖8

評(píng)注本題恰是利用了動(dòng)靜轉(zhuǎn)化這一思想使解題過程變得簡潔明了.若按部就班地去解，則要花大筆墨且效果不一定好.

6 整體與局部的轉(zhuǎn)化

當(dāng)面臨的是一道按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí),要適時(shí)調(diào)整視角,把問題作為一個(gè)有機(jī)整體,找到解決問題的辦法.

圖9

例8如圖9,過圓外一點(diǎn)M(2,4),向圓C：(x-1)2+(y+3)2=1引2條切線MA,MB,切點(diǎn)為A,B，求直線AB的方程．

分析根據(jù)平面幾何性質(zhì),以MC為直徑的圓與已知圓C的交點(diǎn)即為切點(diǎn)，又以MC為直徑的圓的方程為

(x-1)(x-2)+(y+3)(y-4)=0.

點(diǎn)A,B的坐標(biāo)滿足方程組

式(2)-式(3)，得

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則切點(diǎn)坐標(biāo)滿足式(2)和式(3)，亦滿足式(4),而式(4)是含x,y的一次方程，故式(4)即為過切點(diǎn)A,B的直線方程.

評(píng)注此題若用設(shè)切線、求切點(diǎn)A,B(局部問題)的方法來求，思路雖然簡單，但是計(jì)算量較大，極易出現(xiàn)錯(cuò)誤．若能變換視角，利用整體思想，意識(shí)到直線AB為兩圓相交的公共弦所在的直線，則可簡化運(yùn)算，提高解題的效率.

7 未知與已知的轉(zhuǎn)化

未知與已知,兩者既對(duì)立又統(tǒng)一,在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.

(2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考理科試題)

從而

8 等與不等的轉(zhuǎn)化

等與不等是一對(duì)矛盾,通過架設(shè)等與不等之間的橋梁,可以使問題巧妙解決.

所以

即

a2+b2=1.

評(píng)注本題中先利用均值不等式得到不等關(guān)系，再結(jié)合等號(hào)成立需要的條件尋找a與b之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了等與不等的轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用．

9 正面與反面的轉(zhuǎn)化

有些問題的條件比較簡單，而結(jié)論卻比較復(fù)雜或不明確，往往難以直接求解.此時(shí)不妨逆向思考，從問題的反面入手，經(jīng)常能克服常規(guī)思維中所遇到的困難(即正難則反)，開辟新的解題途徑．

例11已知曲線y=x2的所有弦都不能被直線y=m(x-3)垂直且平分，求常數(shù)m的取值范圍．

從而

得

設(shè)x1,x2為一元二次方程2m2x2+2mx+6m3+m2+1=0的2個(gè)根,因?yàn)閤1,x2∈R且x1≠x2,所以

Δ= (2m)2-4(2m2)(6m3+m2+1)=

-4m2(12m3+2m2+1)>0，

從而

-4m2(2m+1)(6m2-2m+1)>0,

解得

評(píng)注“不能”的反面是“能”，垂直平分的弦就是曲線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題，因此問題轉(zhuǎn)化為先求存在關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)m的范圍,此時(shí)定會(huì)茅塞頓開、酣暢淋漓.

數(shù)學(xué)大師波利亞曾強(qiáng)調(diào)：不斷地變換你的問題，我們必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止.他認(rèn)為解題的過程就是“轉(zhuǎn)化”的過程.

總之“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，掌握常見的題型及考查方式，解題時(shí)就有了山的成穩(wěn)，依托轉(zhuǎn)化思想，思維就有了水的靈動(dòng)．站在轉(zhuǎn)化的高度來看待問題，定能更加有效地解決數(shù)學(xué)中所謂的“棘手”問題，起到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果．

[1] 施曉霞.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力[J].數(shù)學(xué)通訊，2010(1)：46-48.

[2] 張國棣，金曦東.站在數(shù)學(xué)思想的層面看問題的解決[J].數(shù)學(xué)通訊，2010(4)：4-5.

[3] 荊志強(qiáng)．優(yōu)化解題思路 提高解題能力[J].數(shù)學(xué)通訊，2012(1)：25-27.